Analógia a tömeg és a tehetetlenségi nyomaték között

Ha a forgómozgás alapegyenletét összehasonlítjuk a dinamika alapegyenletével,

akkor láthatjuk, hogy a két egyenlet alakra és tulajdonképpen tartalomra is hasonló. Mindkét egyenletben az egyenlet egyik oldalán a mozgásállapot változását eredményező mennyiség áll, míg a másik oldalon a változást jellemző mennyiség és a test változással szemben mutatott tehetetlenségének szorzata. A test tehetetlen tömegéről tudjuk, hogy állandó. Ugyanez azonban a tehetetlenségi nyomatékról nem mondható el.

Tehetetlenségi nyomaték vizsgálata

Vizsgáljuk meg a rögzített tengely körül forgó test tehetetlenségi nyomatékát a forgómozgás készülékkel! Ebben az esetben az eszköz vízszintes helyzetű rúdján, több viszonylag nagy tömegű és kis méretű, mozgatható test van. Ezek a testek kis méretük miatt a kísérlet szempontjából pontszerűnek tekinthetőek A kísérletben a fonál végén lévő nehezéket nem változtatjuk. Mivel a nehezék gyorsulása kicsi, az általa létrehozott forgatónyomaték jó közelítéssel megegyezik a nehezékre ható nehézségi erő és a csiga sugarának szorzatával.

A tehetetlenségi nyomatéknak a tömegtől és a tengely helyétől való függését szeretnénk meghatározni.

Először a rúdon lévő tömegpontok helyét változtatjuk a mérések során. A tengelytől különböző távolságokra elhelyezve, mérések segítségével meghatározzuk a különböző helyzetekhez tartozó szöggyorsulásokat. A forgatónyomatékból és a szöggyorsulásból a tehetetlenségi nyomaték már számítható.

Ha a kísérletet különböző tömegekkel is elvégezzük úgy, hogy azokat minden esetben ugyanolyan távolságra helyezzük el a tengelytől, meghatározhatjuk a tehetetlenségi nyomaték tömegtől való függését is.

Tehetetlenségi nyomaték

Mérési eredmények alapján beláthatjuk, hogy egy pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka a tengelytől való kétszeres távolságra történő mozgatás esetén négyszeres, háromszoros távolságra történő mozgatás esetén kilencszeres. Ez azt jelenti, hogy a pontszerű test tehetetlenségi nyomatékának nagysága egyenesen arányos a test tengelytől mért távolságának négyzetével.

Ugyanakkor a pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka egyenesen arányos a test tömegével is.

Amennyiben a test tömegét megszorozzuk a tengelytől mért távolság négyzetével, az jó közelítéssel megegyezik a mérések során mért értékkel. Ez alapján azt mondhatjuk, hogy egy Pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a test tömegének és a forgástengelytől mért távolsága négyzetének szorzatával:

.

Fontos megállapítás testek tehetelenségi nyomatékára

A pontszerű testekre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték összefüggést vizsgálva láthatjuk, hogy ugyanannak a testnek más-más tehetetlenségi nyomatéka adódik, ha tengelytől való távolsága változik. A tehetetlenségi nyomaték, ellentétben a tehetetlen tömeggel, nem állandó.

Kiterjedt testek tehetelenségi nyomatéka

Végezzünk el méréseket a forgómozgás készülékkel úgy, hogy egy, kettő, majd három testet rakunk a vízszintes rúdra! A mérések azt mutatják, hogy több test esetén a tehetetlenségi nyomaték egyenlő az egyes testek tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Eszerint nincs elvi akadálya annak, hogy tetszőleges test tehetetlenségi nyomatékát meghatározzuk. Bontsuk a testet olyan parányi részekre, amelyek már pontszerűnek tekinthetők! Ezeknek a részeknek a tehetetlenségi nyomatékát tudjuk számítani. Ha összegezzük az egyes darabok tehetetlenségi nyomatékát, az egész test tehetetlenségi nyomatékát kapjuk. Természetesen ez a számítás meglehetősen nehéz, de az elvi lehetőség az elvégzésére fönnáll. Mivel ezen számítások elvégzése a leggyakrabban előforduló szabályos testek esetén is túl bonyolult, ezek tehetetlenségi nyomatékát - a tengely megjelölésével - táblázatban szokták megadni.