Az áthatási sokszög

Az egymással érintkező, egymásba hatoló mértani testek felületeinek metsződését áthatásnak nevezzük. A síklapú testek áthatási vonala egyenes szakaszokból álló zárt térbeli sokszög, amit a rendezők metszéspontjai határoznak meg. A sokszög csúcsai mindkét test áthatásban résztvevő elemeinek döféspontja, a sokszög oldalai az áthatásban résztvevő lapok metszésvonalai. Az áthatási vonal az áthatásban levő mindkét test felületén rajta van.

Két test lapjainak szerkesztése

Az egymással érintkező testek áthatási vonalban érintik egymást. Az áthatási vonal a két felület metszésvonala. Az építőidomok fajtája szerit az áthatás lehet síkalapú testek között, forgástestek között, valamint síkalapú és forgástestek között.

Síkalapú testek áthatásait úgy szerkesztjük, hogy a feladatot visszavezetjük a test és egyenessel való döfésének szerkesztésére. A szerkesztésben az áthatásban résztvevő oldalélek döféspontjait kell jelölni, majd azokat a többi vetületre átvinni. A döféspontokat egyenes szakasszal kötjük össze térbeli sorrendjüknek megfelelően. A döféspontok a síkok metszésvonalát határozzák meg.

Két test lapjai

Henger metszése

Metsszük el a hengert ferde síkkal, vagyis egy olyan síkkal, mely K1 képsíkkal hegyesszöget zár be. Ekkor a metszősík egy ellipszis alakú felületet hoz létre a hengeren. Az elölnézet képe egy nem szabályos négyszög, a vetületképzés sajátosságai miatt a felülnézeten az ellipszis körnek látszik, az oldalnézeten egy nem mérethelyes ellipszisnek. Szükséges lehet az ellipszis mérethű ábrázolása is, ezt a metszősík K1-re történő beforgatásával, vagy a metszeti idom K4-re való transzformálásával tehetjük meg.

A henger forgástest, felületén nincsenek élek, amelyeket a metszősík elvághatna, megadva ezzel metszéspontokat, amelyeket a szerkesztéshez felhasználhatnánk. A henger felületén tetszőleges számú, lehetőleg szimmetrikus elhelyezkedésű alkotót jelölünk ki, ezeket használjuk fel a metszéspontok kialakításához.

Egy henger metszése

Henger metszése síkkal

Ha hengert valamely képsíkkal párhuzamos metszősíkkal elmetszünk, akkor a megfelelő nézetben képe változni fog.

Ha a metszősík párhuzamos az első képsíkkal, akkor a felülnézeti vetülete kör marad, elöl és oldalnézete a metszősík és a K1 képsík távolságával megegyező oldalhosszúságú téglalap.

Ha a metszősík K2, vagy K3 képsíkkal párhuzamos, akkor felülnézete körszelet, oldal, illetve elölnézete téglalap, melyen a metszés következtében létrejövő téglalap is megjelenhet.

Szerkesztéskor rajzoljuk meg a henger vetületeit, a megfelelő nézeten jelöljük a metszősík nyomvonalát, a kapott döféspontokat vigyük át a többi vetületre, majd a láthatóság szabályait figyelembe véve húzzuk ki a kontúrokat.

Kúp metszése síkkal

A kúpot metszhetjük az első, illetve bármely másik képsíkkal párhuzamos metszősíkkal.

Ha a metszősík az első képsíkkal párhuzamos, akkor felülnézeti képén a kúp alapkörén beül még egy kör keletkezik, az elöl- és oldalnézet trapézzá válik. A kör átmérője és a trapéz magassága a metszősík és a K1 képsík távolságától függ.

Ha a metszősík K2, vagy K3 képsíkkal párhuzamos, akkor kúp felülnézete körszelet, elöl- és oldalnézete a metszősík elhelyezkedésétől függően változik.

Szerkesztéskor először rajzoljuk meg a kúp vetületeit, majd jelöljük a metszősík nyomvonalát azon a síkon, melyre merőleges. A nyomvonal és az alkotók metszéspontjait vigyük át a többi vetületre, majd jelezzük a kontúrokat kihúzással.

Egy kúp metszése

Ellenőrző kérdések:

Mit jelent az áthatás?

Hogyan történik a henger metszése ferde síkkal?

Hogyan történik a henger metszése síkkal?