Tananyag választó:
A szóródás fogalma, vizsgálata
Jegyzet szerkesztése:
Átlagos eltérés, szórás, variancia, momentumok
Eszköztár:

A momentumok

A momentumok a különféle átlagok és a szórás általánosításának tekinthetők. Itt az adatok és az átlaguk közötti különbség helyett egy általánosabb különbséget használunk, és hatványokat átlagolunk. Tehát a di(A) = Xi – A különbségnek az r-edik hatványait átlagoljuk, ahol A egy tetszőleges állandó. Az így kiszámított átlagot az X ismérv A körüli r-edik momentumának nevezzük, ahol r általában egy természetes szám.
A momentumokat a gyakorisági eloszlások alakjának jellemzésekor használjuk fel, tehát az alak-mutatók számításánál.
Az ún. r-edik centrális momentum – Mr(Xátlag) – kiemelt momentum, mert itt az A megegyezik az átlaggal, tehát az átlagtól való eltérést figyeljük. Amennyiben r páratlan szám, a centrális momentum negatív értéket is felvehet.

A szórás

A szórás a szóródás legfontosabb mérőszáma. Jele: σ (szigma).
A szórás az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga, azt mutatja meg, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlaguktól. Meghatározásánál eleinte hasonlóan járunk el, mint az átlagos eltérés számításakor, azaz meg kell határoznunk az adatok számtani átlagát, majd az adatok és a számtani átlag különbségét. Itt viszont nem az abszolút értékkel számolunk, hanem az eltéréseket négyzetre emeljük, mielőtt számtani átlagot számolunk belőlük. A négyzetes érték viszont nem maradhat meg, hiszen akkor nem az átlagos eltérést mutatná a szórás, így a kapott értékből négyzetgyököt vonunk (azaz gyakorlatilag négyzetes átlagot számolunk).
A foglalkoztatottak száma Magyarországon korcsoportonként 2005-ben:

Korcsoport Foglalkoztatottak száma (ezer fő) Átlagtól való eltérés Átlagtól való eltérés négyzete
15-19 20,4 -304,7 92852,2
20-24 257,0 -68,1 4639,9
25-29 581,1 256,0 65527,5
30-34 549,8 224,7 50482,6
35-39 542,0 216,9 47038,4
40-44 457,8 132,7 17604,9
45-49 534,5 209,4 43841,4
50-54 543,6 218,5 47735,0
55-59 312,7 -12,4 154,2
60-64 79,7 -245,4 60229,3
65-69 18,0 -307,1 94320,6
70-74 4,8 -320,3 102602,8
Összesen 3901,4 0,0 627028,7
Átlag 325,1 52252,4
Szórás 228,58

Relatív szórásnak (vagy szóródási együtthatónak) nevezzük azt a mértékegység nélküli számot, mellyel a szórás kifejezzük az átlag százalékában. Jele: CV (variációs coefficiens), kiszámítása: CV = szórás / átlag * 100. Ezt a mérőszámot leggyakrabban akkor használjuk, ha több sokaságszórását akarjuk összehasonlítani egymással.
A fenti táblázatban CV = 228,58 / 325,1 * 100 = 70,31%.

A szórás képlete
A szórás képlete

A variancia

A variancia a négyzetes átlageltérés, azaz a szórásnégyzet. Jele: σ2. Nevéből is látható, hogy ez a mérőszám a szórás négyzete, azaz a szórás számításánál ebből az értékből vonunk négyzetgyököt.
Amennyiben egy sokaságotrészsokaságokra bontunk, akkor a fősokaság varianciája egyenlő a részsokaságok csoporton belüli, ún. belső szórásnégyzetének és a csoportátlagok főátlagtól való eltéréséből számított ún. külső szórásnégyzetének összegével. Azaz:
σ2 = σ2B + σ2K

Az átlagos eltérés

Az átlagos (abszolút) eltérés a sokaság elemei és azok számtani átlaga közötti eltérések abszolút értékének számtani átlaga. Jele:  (delta). Mivel az adatok és a számtani átlaguk közötti eltérések összege 0, ezért használjuk itt az eltérések számtani átlagát. Kiszámításának menete tehát a következő:
1. meghatározzuk az adatok számtani átlagát
2. kiszámítjuk az adatok és a számtani átlag különbségeit
3. ezeknek a különbségeknek vesszük az abszolút értékét
4. végül kiszámítjuk az abszolút értékek számtani átlagát.
Az átlagos eltérés tehát azt mutatja meg, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el az átlaguktól. A gyakorlatban ritkán használt mutatószám, mivel az abszolút érték kicsit nehézkesen kezelhető.
A foglalkoztatottak száma Magyarországon korcsoportonként 2005-ben:

Korcsoport Foglalkoztatottak száma (ezer fő) Átlagtól való eltérés Abszolút érték
15-19 20,4 -304,7 304,7
20-24 257,0 -68,1 68,1
25-29 581,1 256,0 256,0
30-34 549,8 224,7 224,7
35-39 542,0 216,9 216,9
40-44 457,8 132,7 132,7
45-49 534,5 209,4 209,4
50-54 543,6 218,5 218,5
55-59 312,7 -12,4 12,4
60-64 79,7 -245,4 245,4
65-69 18,0 -307,1 307,1
70-74 4,8 -320,3 320,3
Összesen 3901,4 0,0 2516,2
Átlag 325,1 209,7

Mint a táblázatból látható, a különböző korcsoportokban a foglalkoztatottak száma átlagosan 209,7 ezer fővel tér el az átlagtól.