Csúcsossági mutatók
A csúcsossági mutatók azt mutatják meg, hogy egy gyakorisági eloszlás görbéjének csúcsa mennyivel van magasabban vagy alacsonyabban egy egymóduszú normális eloszlás görbéjétől.
Az egyik csúcsossági mutató azon a tényen alapszik, hogy minél csúcsosabb egy eloszlás, annál kisebb a különbség az első és a 9. decilis között. Kiszámítása:
K = (Q3 – Q1) / 2*(D9 – D1)
Normális eloszlás esetén K = 0,263. Egy gyakorisági eloszlás annál csúcsosabb (a görbe csúcsa annál magasabban van), minél kisebb a K értéke.
A másik csúcsossági mutató pedig két dolgon alapszik. Az egyik, hogy a normális eloszlás negyedik centrális momentuma 3, a másik pedig, hogy annál nagyobb a negyedik centrális momentum, minél csúcsosabb egy eloszlás.
α4 = M4(Xátlag)/σ4 – 3
Egy gyakorisági sor annál csúcsosabb, minél nagyobb az α4.
Szimmetria mutatók
A szimmetria-mutatók azt mutatják meg, hogy egy gyakorisági eloszlás eltérése az egymóduszú normális eloszlástól mennyire ferdült jobbra vagy balra. Szimmetria esetén a módusz, a medián és a számtani átlag egybeesik. Jobboldali aszimmetria (azaz balra elnyúló eloszlás) esetén a három mutató közül a számtani átlag a legkisebb és a módusz a legnagyobb. Baloldali aszimmetria (azaz jobbra elnyúló eloszlás) esetén a három mutató közül a számtani átlag a legnagyobb és a módusz a legkisebb.
Az aszimmetria Pearson-féle mutatószáma a P = 3(Xátlag – Me) / σ, általában -3 és 3 közötti értéket vesz fel. Ez a mutató az átlag és a medián nagyságrendi viszonyát vizsgálja a szimmetriára és aszimmetriára vonatkoztatva.
A kvartilisek és a medián nagyságrendi viszonyát vizsgálja a következő mutató:
F0,25 = ((Q3 – Me) – (Me – Q1)) / ((Q3 – Me) + (Me – Q1)), mely érték -1 és 1 közötti értéket vesz fel.
A decilisek és a medián nagyságrendi viszonyát vizsgálja a harmadik mutató:
F0,1 = ((D9 – Me) – (Me – D1)) / ((D9 – Me) + (Me – D1)), mely érték szintén -1 és 1 közötti értéket vesz fel.
A negyedik mutatószám pedig a harmadik centrális momentum jellemzői miatt alkalmas alakmutatónak, mivel szimmetria esetén a harmadik centrális momentum értéke 0, baloldali aszimmetria esetén pozitív szám, jobboldali aszimmetria esetén negatív szám. σ3 = M3(Xátlag)/σ3. Ennek a mértékegység nélküli mutatószámnak az a hátránya, hogy nem adható meg alsó és felső határa.
Mind a négy szimmetria-mutatóra jellemző, hogy szimmetrikus gyakorisági sor esetén 0 vagy 0 körüli értéket vesznek fel, baloldali aszimmetriánál pozitív, jobboldali aszimmetriánál pedig negatív az értékük.
21. századi közoktatás - fejlesztés, koordináció (TÁMOP-3.1.1-08/1-2008-0002)
