A MATEMATIKAI TARTALMÚ EGYIPTOMI PAPIRUSZOK

Az elsőnek megismert egyiptomi, matematikai tartalmú, írásos emlék a Rhind-papirusz. Írója Ahmesz (Jahmesz) királyi írnok. A lemásolt irat a Középbirodalom idejéből származik, az i. e. 1878-1840 közötti évekből, amikor III. Amenemhat uralkodott. Úgy véljük, hogy a Rhind-papirusz vagy inkább az Ahmesz-papirusz tartalma az i. e. 2000. év táján fogalmazódott meg.

Ugyancsak ebből az időből származik az Ahmesz-papirusznál valamivel kisebb „moszkvai papirusz” és a „londoni bőrtekercs".

Az első két papirusz a mindennapi élettel kapcsolatos számolási, geometriai feladatokat tartalmaz a megoldásokkal együtt. A londoni bőrtekercsen törtek közötti összefüggéseket találunk, amelyek hozzásegítettek ahhoz, hogy megértsük az egyiptomiaknak a törtekkel való számolási módját. Az Ahmesz-papiruszon 84, a moszkvai papiruszon 25 feladat van a számolási technika bemutatására, az egyszerű egyenletek megoldására, a terület- és a térfogatszámításra. Az i. e. 3000 körül keletkezett egyiptomi írásnak két-, illetve háromféle alakja fejlődött ki. A kezdeti képírásból alakult ki a hieroglif írás (hieroglipha=szent bevésés; görög szó). Idővel az írásjelek nem csupán szavakat, fogalmakat jelöltek, hanem főként mássalhangzócsoportokat vagy egyes mássalhangzókat. A hieroglif írás tehát mássalhangzós írás, a magánhangzókat nem jelölték. Innen a bizonytalanság a szavak kiolvasásában: A hieroglif írásjelek rövidített, egyszerűbb alakjából fejlődött ki a hieratikus írás, amely olyasféle szerepet játszott, mint ma az írott betűk a nyomtatott betűk mellett. A kőbe vésett, gondosan kialakított írásjelek hieroglifek voltak, de a papiruszra az ahhoz jobban illő hieratikus írással írtak. A kétféle íráshoz később csatlakozott a nép által beszélt nyelv, a mindennapi élet témáival foglalkozó szövegek rögzítésére szolgáló ún. démotikus írás, amely az i. e. VII. században jött létre. A sokáig megfejthetetlen hieroglif írás titkára először derített fényt a rosette-i tábla, amelyet Napóleon egyiptomi hadjárata alkalmával találtak meg. A hieroglif írást a francia Jean François Champollion (1790-1832) fejtette meg.

AZ ÓEGYIPTOMI SZÁMÍRÁS

A hieroglif írás számjelei a következők:

Ezeknek feleltek meg az Ahmesz- és a moszkvai papiruszon a hieratikus számjelek:

A hieratikus számjelek koronként változtatták alakjukat, úgyhogy a számjelekből az írás idejére is lehet következtetni. Amint látjuk, az egyiptomi számírás a tízes számrendszeren alapul, de a helyi érték használata nélkül, habár kötött sorrendben írtak: jobbról balra következtek a mind kisebb és kisebb egységek.

Különös figyelmet érdemel a törtszámok egyiptomi írása, mert ebben némiképpen kifejezésre jut a törtek értelmezése. Általában az egységszámlálójú ún. törzstörtekkel számoltak, és ezért csak ezeket jelölték.

Néhány természetes törtnek, amelyek fogalma az ősidőkben keletkezett, más volt az írásmódja. Korszakonként változott az írásjele.

AZ ÓEGYIPTOMI SZÁMOLÁS

Az egyiptomi számolómesterek mind a négy alapműveletet az összeadásra igyekeztek visszavezetni. Ez várhatóan az egész számok szorzásánál nem okozott nagy nehézséget. Számunkra csak az benne a szokatlan, hogy az egyiptomiak ezt a kettőzés műveletével hajtották végre. Az Ahmesz-papirusz egyik szemléltető példája a 12 · 12 szorzás. Ezt így számították ki:

1 · 12 = 12

2 · 12 = 24

4 · 12 = 48 -

8 · 12 = 96 -

Amikor a számoló a folytonos duplázásban eddig elért, akkor észrevette, hogy a 12 · 12 összetehető a 4 · 12 és a 8 · 12 összeadásával: 12 · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144. A gyakorlatban ezt nem írták ki, hanem a kétszerezés közben megjelölték (nálunk ez kötőjellel történt) az alkalmas szorzatokat, és azokat összeadták. A művelet meggyorsítása érdekében a kétszerezés mellett sokszor használták a tízszerezést és a felezést is. Erre egy példa: 18 · 19.

1 · 19 = 19 -

2 · 19 = 38 -

10 · 19 = 190 -

5 · 19 = 95 -

342.

Ezt az „egyiptomi szorzást” még a középkorban is tanították Európa-szerte. Nehezebb volt a felezés, a kétszerezés, esetleg a tizedelés vagy a harmadolás segítségével az osztás elvégzése. Az Ahmesz-papiruszból való a következő osztás: „Adj össze 80-nal kezdve, míg 1120-at kapsz!” A megoldás:

1 · 80 = 80

2 · 80 = 160 -

4 · 80=320 -

8 · 80=640 -

A következő duplázás már túlvisz az 1120-on, viszont észrevehető, hogy 160 + 320 + 640 = 1120, tehát a kívánt hányados a kötőjeles sorokból: 2 + 4 + 8 = 14, hiszen 1120 : 80 = (160 + 320 + 640) : 80 = 2 + 4 + 8 = 14.

AZ ÓEGYIPTOMI GEOMETRIA

Az egyiptomi papiruszok geometriáját is csak úgy tekinthetjük, mint gyakorlati számolási feladatokat. Az e csoportba tartozó feladatoknak csupán a szövegük, a témájuk geometriai. Elméleti geometriai gondolatmenetekkel a papiruszokban nem találkozunk. A feladatok közt szerepel: egyenes vonalú síkidomok területének kiszámítása, hasáb, henger, gúla és csonka gúla térfogatának meghatározása. A Kheopsz-piramis szerkezetében felfedezhető az aranymetszés. Az egyiptomi geometria legnagyobb eredménye a csonka gúla térfogatának kiszámítása, amelyről a moszkvai papirusz tesz bizonyságot.

AZ ÓEGYIPTOMI ALGEBRA

Ahogyan mezopotámiai algebra létezett, ugyanolyan értelemben, ha nem is olyan fejlett fokon, beszélhetünk egyiptomi algebráról is. Egyenletformában megfogalmazható feladatokról van tehát szó. Ezekben az elsőfokú és tiszta másodfokú egyenleteknek megfelelő feladatokban fellelhető a játékos kedv és a szórakozásként végzett számolás. Egyiptom matematikájának bemutatását zárjuk le az Ahmesz-papirusz két aritmetikai feladatával. Az első azt mutatja, hogy az egyiptomiak ismerték a számtani sorozat fogalmát, a másik pedig azt, hogy a mértani sorozatét is. Az egyik: 100 cipót 5-felé kell osztani úgy, hogy a részek számtani sorozatot alkossanak (számtani sorozat egymást követő elemei legyenek), és a három nagyobb rész összegének a hetede akkora legyen, mint a két kisebb rész összege. A feladatot a „regula falsi” módszerével oldották meg A másik feladat különböző szövegekkel napjainkban is sokszor felbukkan. A papiruszon ez áll:

7 ház

49 macska

343 egér

2 401 kalász

16 807 búzaszem

összesen: 19 607.

Nem nehéz a hozzá tartozó szöveget kitalálni. 7 ház mindegyikében 7 macska. Mindegyik macska megevett 7 egeret. Minden egér megevett 7 kalászt. Minden kalászban volt 7 szem búza. Mennyi ezek összege? Ha a feladat a búzaszemek számát kérdezte, akkor a felelet helytelen, az összeadás felesleges. A számok összege viszont nem értelmezhető. A szövegtől függetlenül, a papiruszon egy 7 hányadosú mértani sorozat első 5 elemének az összegét látjuk.