Mezopotámia régi nagyságáról a XIX. század második felében megindult, és a ma is tartó régészeti ásatások tanúskodnak. A felszínre hozott leletek között van több tízezer ékírásos szöveget tartalmazó égetett agyagtábla. Ezek alapján hű képet adhatunk az i. e. 2000. év táján használt mezopotámiai számírásról és meglepően ügyes számolási technikáról. A számokat 1-től 60-ig különböző alakú és helyzetű ékjelekkel írták le.

Ezeket a jeleket egy háromszög keresztmetszetű pálcikával nyomták a még puha agyaglapra. A teleírt táblát azután kiégették. 1-től 10-ig olyan ékekkel jelölték a számokat, amelyeknek a homloka felül van. A 10 jele egy kapocsszerű ékjel volt. A 60 leírására ugyanazt a jelet használták, amit az 1 leírására. Számírásukban tehát 1-től 59-ig a nem helyi értékes 10-es számrendszer fedezhető fel, azután pedig a helyi értékes 60-as számrendszerben írták a számo Mezopotámiai számírás kat. Az egyes helyi értékeket kezdetben kis hézaggal különítették el egymástól. Később azonban a zérus jelének bevezetése elkerülhetetlenné vált. Erre használták a két, egymás alá írt 10-es jelet.

A MEZOPOTÁMIAI SZÁMOLÁSTECHNIKA

A legrégibb ránk maradt babiloni matematikai emlékek a számolást megkönnyítő és meggyorsító táblázatok. Ezek között találunk szorzótáblákat, reciprok-, négyzet-, köb-, négyzetgyök- és köbgyöktáblázatokat. Az osztást a szorzó- és a reciproktáblázatok együttes alkalmazásával végezték el. Például a 75 : 8 osztás kiszámítása úgy történt, hogy a reciproktáblázatból kikeresték 1/8 értékét (760+30 602) , és ennek a 75-szörösét kiolvasták a szorzótáblázatból (9+2260+303 600) . Ha a táblázatban nem találtak pontos értéket, akkor megelégedtek közelítő eredménnyel is. Bizonyos esetekben a közelítést igen nagy pontosságig tudták fokozni. Erre meglepő példa a 2 igen pontos közelítő értékének az ismerete. New Yorkban a Yale Egyetem babiloni gyűjteményében őriznek egy kőkorongot:

Ezen a négyzet vízszintes átlójára írt szám: 1+2460+51 602+10 603≈1,4142122 , ami közismerten igen jó közelítés. A magyarázatot az adja meg, hogy a babiloni matematikusok, számolómesterek ismertek egy jó iterációs eljárást.

A BABILONI ARITMETIKA

A helyi értékes 60-as számrendszerbeli számok írásánál az egyesek után pontosvesszőt teszünk, ha törtrész is következik utánuk; máshol azonban a különböző helyi értékeket vesszővel választjuk el. 1945-ben Otto Neugebauer és A. Sachs New Yorkban a Columbia Egyetem Plimpton Könyvtárában felfedeztek egy óbabiloni cseréptáblát (Plimpton 322).

A cserép egy többrészes táblázat töredékeit tartalmazza, de sikerült a felfedezőknek a táblázatot kiegészíteniük. Kiderült, hogy a táblázat számai között pitagoraszi számhármasok találhatók.

A BABILONI ALGEBRA

Az algebra fő tárgya hosszú időn keresztül az egyenletek megoldása és vizsgálata volt. Ilyen értelemben beszélhetünk babiloni algebráról, annak ellenére, hogy a ma szokásos algebrai jelölések akkor még ismeretlenek voltak. Igaz ugyan, hogy a babiloni ékírás bizonyos esetekben igen jól pótolta az algebrai jeleket. Ha például egy feladatban egy téglalap hosszúsága és szélessége ismeretlen, akkor ma ezeket az ismeretlen mennyiségeket például x és y betűkkel jelöljük. Az ékírásban azonban egyetlen ékjel írta le azt a szót, hogy hosszúság és egy másik ékjel azt, hogy szélesség. Ilyen körülmények között nem volt szükséges az ismeretlenek számára a külön jelölés, sőt nem is lett volna előnyös. Az ókori Mezopotámiában hiányzott az egyenletmegoldás mai formalizmusa, de az egyenletekre vezető feladatok megoldási receptjei teljesen megegyeznek a mai megoldóképletekkel. Nem közölték ugyan, hogy milyen úton jutottak el a megoldáshoz, de a legtöbb esetben a követendő utasításokból következtethetünk a gondolatmenetre is. Joggal feltételezhetjük, hogy a babiloni matematikusok ismerték az egyszerű algebrai azonosságokat, persze nem képletszerűen, hanem szavakban, szabályokban. Ilyen szabályokra gondolunk: két tag összegének és ugyanazon két tag különbségének a szorzata egyenlő a két tag négyzetének a különbségével; mivel egyenlő egy kéttagú összeg négyzete, köbe; különbség négyzete, köbe?

A BABILONI GEOMETRIA

Még a XX. század elején úgy tűnt, hogy a babiloni geometria néhány jól-rosszul megoldott gyakorlati, főleg terület- és térfogatszámítási feladatra szorítkozik. Előfordult a Pitagorasz-tétel használata is, de inkább csak ürügyképpen az egyenletmegoldási feladatok kapcsán. 1936-ban azonban kiderült, hogy a babiloni geometriát csak azért becsültük le, mert nem tudtunk róla. Ebben az évben a szúzai ásatásokból (ma Iránban a Karkheh és a Dzsurrahi folyók között) előkerült a matematikai tartalmú agyagcserepek közül egy olyan is, amely összehasonlítja azokat az arányokat, amelyek fennállnak a szabályos sokszögek területe és oldaluk négyzete között. A babiloni matematika értékelésénél a legreálisabb szempont az, hogy mennyire tudta kora gazdasági, termelési igényeit kielégíteni. E tekintetben nincs mit felróni a babiloni matematikusoknak. A gyakorlati élethez való szoros kötődésre mutat az, hogy megelégedtek a számolási eljárások rögzítésével. Megokolásokkal ebben a korban nem találkozunk. Talán ez magyarázza azt is, hogy egy-egy hibás képlettel (csonka gúla) sokáig elszámolgattak, ha az a gyakorlat számára még elfogadható értéket szolgáltatott. Ez az oka annak is, hogy nem jelentett számukra elméleti problémát az, hogy például: a 2 egészen más természetű szám, mint az egész vagy a törtszámok. Amint láttuk, a gyakorlat számára tetszőleges pontossággal meg tudták határozni, és ezzel meg is elégedtek. Ez a nagyon gyakorlati alapokon nyugvó, algebrai jellegű matematika azonban biztos lehetőséget nyitott a mai értelemben vett matematika kifejlődéséhez.