A FILOZÓFIA ÉS A MATEMATIKA

Bizonyára nem véletlen, hogy Thalész az ismert ókori matematikusok közül elsőként szakított a szemléletességgel, értve ezen azt, hogy nem elégedett meg az állítások szemlélet alapján való elfogadásával, hanem szükségét érezte a logikai igazolásnak. Még erősebben jelentkezett ez az új, tipikusan görög matematikai irányzat a püthagoreusoknál, és teljes kiforrottságában látjuk Eukleidésznél. Thalész, Püthagorasz és az utánuk következő matematikusok egy-két századnyi kora éppen az eleai filozófia kialakulásának és hatásának az ideje.

A püthagoreus számelméletben az "egy" az istenség jelképe, oszthatatlan, részekre nem bontható. A püthagoreus "egy" azonos az eleai "létező" fogalmával. Ha a püthagoraszi aritmetika következetesen igazodott volna az eleai filozófiához, akkor lehetetlenné vált volna maga az aritmetika. Az eleaiak ugyanis, mint láttuk, tagadták a sok fogalmát. A püthagoreusok viszont definiálták a "szám" fogalmát, mégpedig úgy, hogy a szám az egységek halmaza. Az egység, felfogásuk szerint, nem is szám, hanem csak a számok (az elgondolt számok) forrása. A számok tehát már oszthatók. Az ilyen módon meghatározott számok egyszersmind megoldották a törtek tagadásának a problémáját is, mert a törtek helyett két szám arányáról már lehetett beszélni, és az arányokkal éppen úgy lehetett műveleteket végezni, mint a törtekkel, ti. a gyakorlati élet törtjeivel.

Az első igazi aritmetikai nehézség az irracionális viszony felfedezésével adódott. Ha a négyzet oldalához számot (természetes számot) rendelünk, akkor - amint láttuk - az átlót nem lehet számmal jellemezni, de még két szám arányával sem. Más megfogalmazásban: Nem tudjuk számmal jellemezni annak a négyzetnek az oldalát, amelynek a területe kétszer akkora, mint egy adott, számmal jellemezhető oldalú négyzet területe. A görögök ezt az elképzelhetetlen számot "arrhéton" számnak, "kimondhatatlan" számnak nevezték.

Ugyanez a probléma viszont szerkesztéssel, tehát geometriai formában semmi nehézséget nem okozott. Nehéz volt azonban a geometriai fogalmak olyan meghatározása, amely összhangban van az eleai filozófiával. A baj ott kezdődött, hogy az eleai tanok szerint a mozgás és a tér ellentmondásos fogalmak, tehát nem elgondolhatók; azaz a gondolkozásban nem használhatók, és így az igazi tudás számára nem létező fogalmak. Ha viszont nincs tér, akkor a tér tudománya, a geometria sincs. A szerkesztéssel is baj van, hiszen valamit megszerkeszteni csak mozgással tudunk, a mozgás pedig nem elgondolható. Püthagorasz idejében a geometriát a fenti okok miatt nem is tekintették igazi matematikának (mathéma = tanulmány), hanem csak "látásból, hallomásból" eredő, látszólagos ismeretnek, görögül "hisztorié"-nek. Láttuk azonban hogy akadt egy probléma, amely a görög matematikát szinte rákényszerítette a geometria művelésére - éppen a már említett "irracionális szám" felfedezése. Pontosabban: a négyzet oldalából a négyzet átlóját nem lehetett aritmetikai úton meghatározni, de szerkesztéssel igen. Más szavakkal: egy számnak és a szám kétszeresének a mértani középarányosa "arrhéton", kimondhatatlan szám, de mégis megszerkeszthető. Ezért is nevezték el geometriai középnek. Gondoljunk a püthagoraszi számelmélet háromszög-, négyzet-, téglalap-, sokszög-, hasábszámaira. Ebben a számelméletben már geometriai fogalmakat használtak, lényegében geometriai számelméletet műveltek, illetve azt alapozták meg.

Az eleai iskolától ösztönzött bizonyítási módszerek, különösen pedig az axiómákra alapozott deduktív módszer, a geometriában az alapfogalmak nem kielégítő definíciói miatt, nehezebben keresztülvihetőek voltak, mint az aritmetikában. Azért, hogy a geometria az eleai elvekkel lehetőleg összhangban legyen, megalkották a csupán gondolatban létező geometriai alakzatokat. A geometriai pont, egyenes, sík vagy kör önállóan a valóságban nem létezik. Amit rajzolunk, az csak jele, jelképe az elgondolt alakzatnak, úgy, ahogy a leírt szám is csak jelképe a minden konkrét tartalmat nélkülöző, absztrakt számnak. Ezért olyan kínosan gondosak Eukleidész geometriai definíciói: Pont az, aminek nincs része. A vonal szélesség nélküli hosszúság. Ilyen pont, ilyen vonal csak elgondolható, a valóságban nincs, rajzolni ilyet nem tudunk. Ezek az erőltetett definíciók - erőltetettek, mert egyszerűbb fogalmat bonyolultabbal magyaráznak - nem segítettek azon, hogy a szerkesztéseknél rajzolunk, keletkeztetünk, tehát ezektől a műveletektől elválaszthatatlan a mozgás, a létrehozás, amelyek pedig az eleai tanok szerint tilos fogalmak.

A geometria vázolt nehézségein megpróbált segíteni a filozófia és a matematika is. Az eleai filozófiát Platón módosította. Ő olyan nagyra becsülte a geometriát, hogy nélküle a filozófiát nem tudta elképzelni, legalábbis erre mutat Akadémiájának kapujában a "Ne lépjen ide be senki, aki nem ismeri a geometriát!" felirat. Platón úgy vélte, hogy az érzékekkel tapasztalható, változó, látszólagos dolgok mellett van egy másik, valóságos világ, a változást nem ismerő, amely az érzékelhető dolgok absztrakcióit, ideáit tartalmazza. Az utóbbi teszi csak lehetővé az igazi tudást, és ez csak gondolkozással közelíthető meg. Platón azonban, hogy a geometriát is "szalonképessé" tegye filozófiájában, a látszólagos világ és az ideák világa közé iktatta azt a birodalmat, amely maga változatlan, de amelyben a változások lefolynak, vagyis a teret. Ennek a változásokat magába foglaló, változatlan világnak, a térnek a tudománya a geometria.

A platóni rangsorolásban tehát a látszólagos történések fölött van a tér, és erre következik az ideák mozdulatlan, örök világa. Az érzékek csalóka, bizonytalan ismereteket adnak, az ideák az abszolút igazságot. Ez utóbbi megszerzésében segít az átmeneti jellegű tér tudománya, amely megtanít a helyes gondolkozásra, az abszolút törvények meglátására. Platón a matematika nem geometriai részét, tehát az absztrakt számok tudományát, az előbbi besorolási szempontnak megfelelően a geometria fölé helyezte, azaz az ideák tartományába. A filozófia tehát még akkor is, ha a geometriát csak amolyan másodrendű matematikai területnek nyilvánította, tett valamit tekintélyének elismertetéséért.

A matematikusok egészen más úton "mentették meg" a geometriát. Mivel szükségük volt rá - hiszen segítségével problémamentesen oldottak meg olyan feladatokat, amelyekkel a "tiszta" aritmetikában nem boldogultak -, azért amennyire lehetett, megkísérelték ugyan tiszteletben tartani az eleai tanokat, de egy bizonyos határon túl határozottan szakítottak azokkal. Már a püthagoreusok megkísérelték az aritmetikai egység mintájára megteremteni a geometriai egységet azzal a definícióval, amelyet Eukleidésznél is olvashattunk: a pont az, aminek nincs része. A számfogalomnak megfelelő szakaszfogalommal azonban már baj volt. A szám az egységek összessége, de mondható-e, elgondolható-e, hogy a szakasz a kiterjedés nélküli pontok összessége. A szám osztható, de véges számú osztója van, és a legkisebb osztója az egység. A szakasz is osztható, de végtelen sok osztója van, azaz végtelen sok olyan szakasz létezik, amely maradék nélkül rámérhető, de ezek között nincs legkisebb, és legkevésbé lehet ez a kiterjedés nélküli pont. A pontnak és a szakasznak ezek a nem megfelelő definíciói tették lehetővé Zénón paradoxonjait is, aki a véges halmazokra helyes törvényeket alkalmazta minden további nélkül a végtelen halmazokra is.

Az eleai filozófia bizonyítási módszereit a geométerek is átvehették. A bizonyításhoz a geometriában sem volt szabad segítségül hívni a szemléletet. A tisztán gondolkozással való igazoláshoz azonban először is ellentmondásmentes fogalmakra volt szükség. Ezeket biztosították, vagy legalább igyekeztek biztosítani a definíciók. Definiálni (görögül: horidzeszthai) annyit jelent, mint elhatárolni. A definíció tehát az elmélkedés tárgyát elhatárolja minden mástól, ami nem a tárggyal azonos. Ugyanakkor valamely fogalmat csak más, egyszerűbb fogalmakkal lehet definiálni, és a meghatározáshoz szükséges fogalmakat ismét újabb, még egyszerűbbekre kell visszavezetni. Nyilvánvaló, hogy a definíciók e lánca nem lehet végtelen hosszú. Kell tehát, hogy legyenek olyan egyszerű fogalmak, amelyek már nem szorulnak definiálásra. Mai nézeteink szerint ilyen a pont, az egyenes és a sík is. Amikor Eukleidész a pontot definiálta, akkor nemcsak feleslegesen járt el, hanem hibásan is, hiszen a rész, amellyel definiált, nem egyszerűbb, hanem összetettebb fogalom, mint a pont, amelyet meghatározott. Mindenesetre a Sztoikheiának és már előtte a görög matematikusoknak az az igyekezete, hogy vizsgálódásuk tárgyát és fogalmait definiálják, biztosítani akarta az egyértelműséget, az önellentmondás-mentességet.

Az ellentmondásmentesség célját szolgálták az axiómák és a posztulátumok is. Az axióma szó magyarul követelést jelent, és a görög "axioó" = kérek, követelek ige képzett alakja. Ennek az igének van azonban egy olyan jelentése is, hogy méltányolok, értékelek. Ez az axióma szó értelmének olyan árnyalatot kölcsönöz, amelyet magyarul a "méltányos követelés" fordítással lehetne visszaadni. Ugyancsak követelés a jelentése a posztulátum görög megfelelőjének, az aitéma szónak is ("aiteó" = kérek, követelek), de ennek nincs meg a "méltányos" jelentésárnyalata, tehát a posztulátum olyan kívánalom is lehet, amelyet más esetleg nem követel. Már az V. századi Proklosz sem tudott az axióma és a posztulátum között biztos különbséget tenni. Ma ezt a kétféle eukleidészi követelményt általában nem különböztetjük meg, és mind a kettőt axiómának nevezzük. Az axiómák előzetes lerögzítése előfeltétele volt (és ma is az) a matematikában meghonosodott deduktív bizonyítási módszereknek. Az eleai filozófiának egyetlen axiómája volt: "A létező van." Amint Eukleidész nagy művéből látjuk, a matematika nem elégedett meg ennyivel. A Sztoikheia szerzője a definíciók után 9 axiómát fogalmazott meg.

Az első nyolc az egyenlőség fogalmát tisztázza nagy, olykor talán felesleges gonddal, nehogy valaki azt állíthassa például, hogy "az idő fele egyenlő az idő duplájával". Amikor ezek az axiómák keletkeztek, bizonyára még komolyan vették Zénón paradoxonjait. Úgy tűnik, hogy az első 8 axióma éppen a Zénón-féle paradoxonokkal helyezkedik szembe. A görög matematika tehát nem próbálta megcáfolni Zénón okfejtéseit, hanem egyszerűen úgy járt el, hogy előrebocsátotta elmélkedéseinek elfogadott, nem bizonyított alapállításait, axiómáit. Mintha csak ezt mondaná: Lehet, hogy nem mindenkinek ez a véleménye, mi azonban elfogadjuk ezeket az axiómákat, és akkor igazak a következők. Ugyanez a szerepe a posztulátumok egy részének is. Az axiómákat követő 5 posztulátum közül az első három a mozgást engedi meg a geometriában. Igaz, hogy a görög matematikusok sokszor hangsúlyozták, hogy ez csak "elgondolt mozgása" az "elgondolt pontnak". A geometria területén azonban igen nehéz elválasztani a ténylegesen végrehajtott szerkesztést vagy azt a vázlatot, aminek alapján gondolkozunk, a csupán elgondolhatótól. Mindenesetre a 3 posztulátum - az eleai elvek ellenére - megengedi, egyszersmind korlátozza is a szerkesztés műveletét a vonalzó és a körző használatára.

Amint a görög matematika a definíciókkal gondoskodott az ellentmondásmentes fogalmakról, és amint leszögezte a bizonyításra nem szoruló, elfogadott követelményeket, rögtön lehetővé vált a teljes értékű, meggyőző erejű indirekt bizonyítás. Egy matematikai tétel vagy igaz, vagy nem. Ha a két lehetőség közül az egyikből helyes következtetéssel olyan állításhoz jutok, amely ellentmond a definíciók vagy az axiómák valamelyikének, akkor ezt a lehetőséget el kell vetnem, ugyanakkor bizonyítottá vált a másik lehetőség. Sokáig ezt az eleai filozófiában egyedül használatos bizonyítási eljárást tartották a matematikára legjellemzőbb bizonyítási módszernek. Az axiómarendszerek azonban lehetővé tették az axiómák olyan csoportosítását is, amelyből új állítások: tételek születtek, vagyis létrejöhetett a deduktív (levezető) bizonyítási forma. Ennek a lényege az, hogy a definíciókból, az axiómákból, illetve a már belátott tételekből helyesen következtetve új, igaz állításokhoz juthatunk. Az indirekt és a deduktív módszernek is jellemzője, hogy a segítségükkel bizonyított tételek csak annyiban igazak, amennyiben az axiómák azok. Az axiómák igazságtartalmának a vizsgálata azonban már kivezet a matematika területéről a természettudományok birodalmába.

Ugyancsak a görög matematika ókorából származik még a deduktív, más nevén szintetikus módszernek bizonyos értelemben fordított menetű eljárása: az analízis módszere. E bizonyításfajta megszületésekor az analízis szónak nem a mai, vagy nemcsak a mai értelme élt. Ma például a kémiai analízis egy vegyület alkotórészeinek a mennyiségi vagy minőségi vizsgálatát jelenti. A görög "analüó" ige értelme magyarul: feloldok, megoldok. A most megbeszélendő "analízis" fogalmára a "megoldás" szó világít rá, mégpedig olyan értelemben, ahogy egy csomót megoldunk, ahogyan a csomóból visszakövetkeztetünk a megkötés módjára. A megoldás most tehát a megkötés fordított folyamata. A matematikára fordítva a szót: az analízisnek nevezett bizonyítási módszer a dedukció megfordítása, a bizonyítandó tételből visszafelé következtetés addig, amíg eljutunk egy már bizonyított tételhez, esetleg az axiómákhoz.

Az analízisre közismert példa annak a tételnek a bizonyítása, amely szerint két pozitív szám számtani közepe nem kisebb, mint a mértani közepük. Algebrai megfogalmazásban:

(a+b)²≥ab(a+b)≥2ab(a²+2ab+b²)≥4ab(a²−2ab+b²)≥(a−b)²≥0

Ez az "eredmény" már mindenki számára nyilvánvaló, aki tisztában van a számok és a műveletek definícióival. Ha tehát helyesen következtettünk és helyes eredményhez jutottunk, akkor ez azt jelentheti, hogy helyes volt a kiindulás is. Azért fogalmaztunk feltételesen, mert megeshet, hogy hamis kiindulásból is helyes eredményhez jutunk. Ahhoz tehát, hogy az analízis teljes értékű bizonyítás legyen, ki kell még egészíteni, meg kell mutatni, hogy következtetési lépései egyértelműen megfordíthatók, vagyis az utolsó állításból szükségképpen következik az eredeti, a bizonyítandó tétel. Az analízist ki kell egészítenünk a szintézissel, a dedukcióval. Tehát :

a²−2ab+b²≥a²+2ab+b²≥4ab(a+b)²≥4ab|a+b|≥2ab

Mivel a > 0 és b > 0, azért :

a+b≥2ab

és így valóban :

a+b²≥ab

ha a > 0 és b > 0.

Természetesen az analízist kiegészítő szintézis önmagában is bizonyító erejű, de az analízis megadta az ötletet arra, hogy honnan érdemes a dedukciónak elindulni. E téma lezárásaként vegyük még észre, hogy az analízis-szintézis egyesített módszere speciális esetként tartalmazza a közvetett bizonyítást és a dedukciót. Ha ti. az analízis az axiómákkal ellentétes állításhoz vezet, akkor a kiindulás helytelen volt, tehát annak a tagadása a helyes állítás. Ha pedig az analízist elhagyjuk, akkor nyilván a szintézist, a dedukciót nyerjük. Az elmondottak szerint a matematika definíciói, axiómái, bizonyítási eljárásai szoros összefüggésben születtek meg a filozófiai, közelebbről az eleai, illetve a platóni filozófiai elvekkel.