AZ ÓGÖRÖG SZÁMÍRÁS ÉS SZÁMOLÁS

Az ősgörögök számaikat a nem helyi értékes 10-es számrendszerben írták („lineáris B”). Ugyanezt mondhatjuk a későbbi, az i. e. IX-VIII. században kialakult görög számírásról és az i. e. V. század táján bevezetett ión alfabetikus számírásról is. A régebbi, az ún. attikai számírás jelei:

E jelek az 1 kivételével a megfelelő számnév első betűi. Az 5 jele kezdetben a Pi volt, a penta szó kezdő betűje. Ugyanígy a Delta a deka szónak, H a hekatonnak, X a khiliasznak és M a müriasznak az első betűje. A 100 jelénél talán feltűnő, hogy a H jel a görög nagy éta (é) betű, azonban a ma étát jelentő H jel régen a görög nyelvből már korán kiveszett gyenge h hangnak, a jele volt. Amikor az idézett számjelek keletkeztek, akkor még a hekaton szót Hekaton-nak írták, és csak jóval később lett: ‘Ekaton. Ezt a számírást különösen dátumok megjelölésére még i. e. 100 körül is használták - mint ahogy ma is használjuk a római számjeleket a hónapok jelölésénél -, bár az ión betűk elterjedésével már az i. e. V. század előtt megszületett egy ún. alfabetikus számírás. Amint az elnevezés is mutatja, a számjeleket az ábécé betűi szolgáltatták. A görög ábécé első 9 betűje jelentette a számokat 1-től 9-ig. A következő 9 betűvel írták le a tízeseket 10-től 90-ig. A további 9 betűvel a százasokat jelölték 100-tól 900-ig. Mivel azonban az ión ábécében csak 24 betű volt, azért kiegészítették három régi betűvel. Azért, hogy a számokat a szavaktól megkülönböztessék, a számokat jelentő betűcsoportokat felülhúzták. A 10 000 számára megmaradt az M jel, és a tízezresek számát az M fölött jelölték. Ha a leírandó számban nagyon sok tízezres volt, akkor ezek számát írhatták az M után is, de ettől a szám többi részét ponttal választották el.

Elképzelhető, hogy az ilyen, alfabetikus számírás mellett (amilyenekkel találkozunk az ókori zsidóknál, az ószlávoknál és az örményeknél is) a számolás nehézkes volt. A szorzást például úgy végezték el, hogy az összeszorzandó két számot felbontották egyesek, tízesek, százasok stb. összegére; és a többtagúak szorzási szabálya szerint, a szorzandó minden tagját megszorozták a szorzó minden tagjával; végül az így nyert részletszorzatokat összegezték. Tehát például a 642 · 536 szorzásnál a következőképpen jártak el:

600 · 500 = 300 000

600 · 30 = 18 000

600 · 6 = 3 600

40 · 500 = 20 000

40 · 30 = 1 200

40 · 6 = 240

2 · 500 = 1000

2 · 30 = 60

2 · 6 = 12

összesen: 344 112,

persze mindezt görög, alfabetikus számírással. E mellett az ún. görög szorzás mellett használták az egyiptomiaktól átvett és egyiptomi szorzásnak nevezett kettőzés módszerét is. Az írásban végzett műveleteket nehezítette az is, hogy abban a korban a papír, illetve a papirusz nehezen hozzáférhető, drága eszköz volt. Ezért terjedt el az abakusszal, a számolótáblával való számolás. Az abakusz lényegében párhuzamos, egyenes sorokkal (árkokkal) ellátott tábla volt. A párhuzamos sorok közül a legalsó az egyesek, a következő a tízesek, az azutáni a százasok stb. helyét jelölte ki. E párhuzamos rovátkákba kavicsokat, kis korongokat lehetett helyezni. Így például az alulról számított második sorba helyezett 3 kavics jelentette a 30-at. Az alapelv tehát ugyanaz volt, mint a ma is még sok helyen (volt Szovjetunió, Kína) használatos golyós számológépek elve. Az abakuszon a rovátka helye határozta meg ugyanannak a kavicsnak (pszéphosznak) az értékét, tehát az abakusz lehetővé tette, hogy a nem helyi értékes 10-es számrendszerbeli számírással kijelölt számolási műveletet helyi értékes 10-es számrendszerű számolással lehessen végrehajtani. Az abakuszon valamely szám kirakása egyenértékű a szám helyi értékes felírásával. Az abakusznak másik nagy előnye volt még, hogy az írástudatlanok is tudtak vele számolni, Ezen előnyei miatt lett az abakusszal való számolás hosszú életű. Még a XIV-XV. században is széltében-hosszában használták.

Érdekes a „görög törtek” története. Az i. e. VI-V. század előtti időkben kialakult a görögöknél is a törtfogalom, nagyjából a mai törtfogalomnak megfelelően. Az egységszámlálójú törtek írásához a megfelelő egész számot használták. A közönséges törtek írásánál kezdetben a nevező alá írták a számlálót, de törtvonal nélkül. Később azonban, valószínűleg indiai hatásra, helyet cserélt a nevező a számlálóval . A fentebb jelzett érdekesség a „görög törteknél” az, hogy a görög matematikában Pühagorasztól Arkhimédészig elkerülték a törteket, tagadták létezésüket, annak ellenére, hogy a gyakorlati életben használták azokat. Ennek filozófiai okai vannak. Amint majd látni fogjuk a püthagoreusi számmisztikában: az 1 az oszthatatlan, a részekre nem bontható istenséget, illetőleg a világ egységét jelképezte. A matematikusok absztrakt 1 fogalma azonosult a kortárs eleai filozófiának „a létező” fogalmával, amely az eleai iskola tanítása szerint egységes és oszthatatlan. Az erre a mintára kialakított matematikai egység fogalma nem fért össze az oszthatóság, a feldarabolhatóság fogalmával, tehát a törtszámok létezésével sem, hiszen „a szám az egységek halmaza”. Ez az oka annak, hogy a Püthagorasz utáni görög matematikusok a tört fogalmát helyettesítették az arány fogalmával: a két szám (a görögöknél a szám azonos a mi természetes számunkkal) arányával. Az 1-et kezdetben nem is tekintették számnak, hiszen az egységekből összetevődő szám osztható, de az 1 definíció szerint nem. Arkhimédész azonban már szakított ezzel a filozófiai megalapozású egységfogalommal, és szabadon használta a közönséges törteket úgy, ahogy a nem matematikus, „közönséges” emberek. Nagyjából úgy számoltak a törtekkel, mint mi. Ugyancsak érdekesség, hogy a görög nem helyi értékes számírással párhuzamosan a görög csillagászok (például Ptoleimaiosz is) igen jól számoltak a babiloni 60-as helyi értékes számrendszerben, és ezen belül a hatvanados törtekkel is. Ennek fő oka az, hogy a mezopotámiai csillagászati eredmények alapozták meg a görög csillagászatot. A babiloni csillagászati táblázatok és megfigyelési eredmények pedig 60-as helyi értékes számrendszerben íródtak. A görög csillagászok a babiloni számrendszerű számokat a görög számjelekkel írták át.

A görög számírással kapcsolatban meg kell említenünk egy nagyon lényeges „semmiséget”. A görög csillagászok (talán Ptoleimaiosz) éppen a babiloni helyi értékes 60-as számrendszerű írást tökéletesítették a zérus számjegy bevezetésével. Az üres helyi értékeket az ouden = semmi szó kezdőbetűjével az "o" (omikron) betűvel töltötték ki. Ez fontos hozzájárulás volt a későbbi hindu, helyi értékes 10-es számrendszerű írás kifejlődéséhez. Mai ésszel talán csodálkozunk, hogy a görögök ismerték a 10-es számrendszert, ismerték a helyi érték fogalmát, feltalálták a nullát, tehát minden készen volt náluk a helyi értékes 10-es számrendszerű számírás bevezetéséhez, és ezt a dicsőséget mégis átengedték a későbbi hindu matematikusoknak. A meggyökeresedett szokásokat nehéz elhagyni!