A PÜTHAGOREUSOK GEOMETRIÁJA

A Pitagorasz-tételt, amely leginkább ismertté tette Püthagorasz nevét, nem ő fedezte fel; Babilonban, Egyiptomban, Kínában már előtte is ismerték. A püthagoreusok magát a geometriát nem is értékelték annyira, mint a számok tudományát. Ez megnyilvánult az elnevezésben is. A számelméletet mathémának, tanulmánynak hívták, ebből származik a matematika szó. A geometria hisztorié volt, amely a hisztoreo (tapasztal, kérdez, tudakoz) igéből származik, tehát kimondottan tapasztalati jellegű tudományt jelent. Jamblikhosz neoplatonista filozófus és matematikus azt állítja, hogy volt egy Püthagorasz hagyatéka címen ismert geometriai tankönyv, amelyet a püthagoreusok adtak közre azért, hogy vele pénzt keressenek. Erre - elveikkel ellentétben - az kényszerítette őket, hogy egy ízben elveszett a szövetség közös vagyona. Sok olyan geometriai tételre, amelyet abból a könyvből ismertek meg, fogták rá, hogy Püthagorasz fedezte fel. Biztosnak vehetjük azonban, hogy a püthagoreusok bizonyították be először, hogy a háromszög szögeinek összege két derékszög. A bizonyításhoz tudniuk kellett, hogy a váltószögek egyenlők. Ez szinte bizonyossá teszi, hogy folytatták Thalésznek a szögpárokra vonatkozó vizsgálatait. Ezt valószínűsíti az is, hogy a közös csúcsú szögek számbavételével feleltek arra a kérdésre, hogy milyen szabályos sokszögekkel, fedhető le hézagmentesen a sík. (Szabályos háromszögekkel; négyzetekkel és szabályos hatszögekkel.) A zárójelben említett szabályos sokszögeken kívül meg tudták szerkeszteni a szabályos ötszöget is.

Ennek a szerkesztésnek a felfedezése az i. e. V. század elején Hippaszosz nevéhez fűződik. Ekkor a püthagoreusok már két, egymással ellenséges táborra oszlottak. Az egyik a vallási előírásokat tartotta fontosnak, a másik a matematika művelését. Hippaszosz ez utóbbi csoportba tartozott, és ezért az előbbiek kiközösítették, sőt állítólag még életében felállították sírkövét annak jeléül, hogy számukra meghalt. Az ötszögszerkesztéshez Hippaszosznak, tehát az akkori püthagoreusoknak is, ismerniük kellett, hogy a szabályos ötszög átlói az aranymetszés szabályai szerint osztják egymást. Az aranymetszés egy a hosszúságú szakaszt akként bont két, b és c részre, hogy az egész szakasz úgy aránylik a nagyobbik részhez, mint a nagyobbik a kisebbikhez, tehát: a : b = b : c, ahol b + c = a.

Az ABCDE szabályos ötszög két, egymást metsző átlója AD és BE. Az AFE egyenlő szárú háromszög hasonló az ADE egyenlő szárú háromszöghöz (mert az egyíves szögek egyenlők). Ezért (a + x) : a = a : x. Ha tehát adott a oldalú szabályos ötszöget akart szerkeszteni, akkor Hippaszosznak meg kellett szerkesztenie az x távolságot. Ezt bizonyos területátalakítással, vagy ahogy akkor nevezték, területillesztéssel oldotta meg.

Az aranymetszés szabálya valószínűleg még a Püthagorasz előtti idők geometriai divatú képzőművészetéből kristályosodott ki. Számos természeti tárgy, jelenség mutat megközelítően ilyen felosztottságot. Ugyancsak a püthagoreusok idejében született meg az indirekt bizonyítása is annak, hogy a négyzet oldala és átlója összemérhetetlenek. Ha ugyanis az a oldalnak és a c átlónak lenne legnagyobb közös mértéke: x; és a = nx, c = mx volna, ahol n és m relatív prím számok, akkor a Pitagorasz-tétel értelmében

2a²=c²

vagy

2n²x²=m²x²

illetve

2n²=m²

lenne. Ebből az következnék, hogy m² és vele m is páros szám, tehát m 2k alakú. Így

2n²=4k²

vagy

n²=2k²

Ekkor viszont m² és így n is páros szám lenne. A következmény tehát az, hogy m és n is páros szám, ami ellentmond annak a kezdeti feltételnek, hogy n és m relatív prímek. A kiinduló feltevés tehát helytelen, azaz a és c összemérhetetlenek.

A püthagoreusok geometriájához tartozott még a szabályos (tökéletes) testek tulajdonságainak a kutatása is. Maga Püthagorasz valószínűleg csupán a tetraédert, a kockát és a dodekaédert ismerte. Az oktaédert és az ikozaédert csak később fedezte fel Platón tanítványa: Theaitetosz (i. e. 417?-369). A püthagoreusoknál a tetraéder a tűz jelképe volt, az oktaéder a levegőé, az ikozaéder a vízé és a kocka a földé. Később Arisztotelész (i. e. 384-322) a dodekaédert az égi szférával azonosította. Megjegyezzük, hogy az ikozaédert valószínűleg már Babilonban ismerték, Pádua mellett pedig találtak egy, az i. e. 500 előtti időkből származó, dodekaéder alakú etruszk emlékművet. A püthagoreusok foglalkoztak először azzal a kérdéssel, hogy milyen szabályos testekkel lehet a teret hézagmentesen kitölteni. Erre alkalmasnak találták az oktaédert és a kockát. A gömböt végtelen sok oldalú szabályos testnek tekintették, szóhasználatukkal a legtökéletesebb testnek, aminthogy a kör is a legtökéletesebb síkidom. Püthagorasz bizonyítás nélkül ugyan, de kimondta, hogy az egyenlő kerületű síkidomok közül a kör területe a legnagyobb, és ugyanígy az egyenlő felszínű testek között a gömb térfogata a legnagyobb.