A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS FEJLŐDÉSE

A valószínűség mint tapasztalati fogalom nem szorul definícióra. A valószínűségszámítás elemi fogalmai az ősidők óta ismert hazárdjátékok kapcsán jelentkeztek.

Az első, aki a hazárdjátékokban meglátta a matematikai problémát, talán Pacioli volt. Az 1494-ben megjelent Summa de arithmeticájában olvasható a következő feladat: Egy játékban az nyer, aki először éri el a 6 pontot. A játék azonban félbeszakadt akkor, amikor az egyik félnek 5, a másiknak pedig 2 pontja volt. Kérdés: Hogyan osztozzanak a letétbe helyezett eredményen? Pacioli e feladatban pusztán arányos osztást látott, és tévesen az 5 : 2 arányban való osztozkodás jogosultságát mondata ki. Pacioli tévedését Tartaglia és Cardano is felismerte, de ők sem jutottak helyes eredményre. Cardano jól látta, hogy a tét elosztásában szerepet játszik a nyeréshez szükséges pontok száma is.

Ő ehhez a feladathoz egy másikat is csatolt, amely később a "pétervári paradoxon" néven lett híres. Ez Cardano megszövegezésével a következő: Egy gazdag és egy szegény egyenlő tét befizetésével hazárdjátékot játszik. Ha a szegény megnyeri az első játékot, akkor köteles a tétjét megduplázva kiállni a második játékra is. Ha a második játékot is megnyeri, akkor az eredeti tét négyszeresét betéve harmadikat is kell játszania és így tovább, vagyis a szegénynek minden nyertes partija után az előbbi játék tétjét megduplázva ki kell állnia a következő fordulóra is. Ha a gazdag nyer, a játék befejeződik, amikor is a nyertes az iménti módon felszaporodott betétet zsebre vághatja. Kérdés, hogy a szegény mennyiért veheti át a játékban a gazdag szerepét: Ezt a feladatot 1725-ben Daniel Bernoulli is felvetette a pétervári Akadémia folyóiratában azzal a változtatással, hogy a gazdagot Pálnak, a szegényt Péternek hívták, és a játék egy érme feldobásából állt. Ha az első dobás fej, akkor Pál ad Péternek egy dukátot. Ha az első dobás írás, de a második fej, akkor is Pál fizet, de már két dukátot. Ha a fej csak a harmadik dobásra sikerül, akkor Péter négy dukátot kap, és így tovább. Általában ha a fej csak az n-edik dobásnál jelent meg, akkor Pál 2(n−1) dukátot tartozik fizetni. Kérdés, hogy Pál mennyiért veheti meg Pétertől az ilyen feltételekkel folyó játék jogát. Péter "matematikai reménye" lévén, úgy tűnik, hogy végtelen nagy összeget ér a játék. Georges Louis Leclerd Buffon (1707-1788) francia természettudós azonban nem hitt ennek az eredménynek, és 2084 játékban kipróbálta, hogy mennyit nyerhet Péter. A végtelen nagy összeg helyett csupán 10,057 dukát volt az eredmény. A XVIII. Században a pétervári paradoxont sokféleképpen magyarázták. A legtöbben úgy, hogy a feladat lehetetlenséget rejt, hiszen ha be is következnék egy ilyen végtelen "fej"-sorozat, akkor sem tarthatna a játék a végtelenségig, mert Pálnak előbb vagy utóbb elfogy a pénze, sőt egyszer a halál is utoléri.

A valószínűségelmélet mai korszakát Richard Mises (1883-1958) német és Szergej Natanovics Bernstein (1880-1968) szovjet matematikus nyitotta meg. Mises vezette be a valószínűségszámításba a Stieltjes-integrál alkalmazását és megmutatta, hogy a Markov-láncoknak milyen nagy jelentősége van a fizikában. Ugyancsak ő kísérelte meg 1919-ben a valószínűség fogalmát visszavezetni a gyakoriság fogalmára a határérték segítségével. Munkáiban jelentkezett elsőként a valószínűségelmélet axiomatikus megalapozása, amely azonban nála még logikai nehézségekhez vezetett. Ezt bírálta Alekszandr Jakolevics Hincsin (1894-1959) szovjet matematikus. Bernstein továbbfejlesztette Ljapunov és Markov eredményeit. Az elsők között, Misesszel körülbelül egy időben (1917), ő is megkísérelte a valószínűségszámítás megalapozását.

A valószínűségszámítás axiomatikus alapon való kifejtését Kolmogorov tette meg 1933-ban a Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (A valószínűségszámítás alapfogalmai) című Berlinben megjelent könyvében.

"Legyen Ω azon ω elemek halmaza, amelyeket mi elemi eseményeknek fogunk nevezni, Φ pedig Ω bizonyos részhalmazainak halmaza. Az Φ halmaz elemeit véletlen eseményeknek (illetve egyszerűen eseményeknek), Ω-t pedig az elemi események terének fogjuk nevezni.

I.halmazalgebra

II.Minden Φ -beli A halmaznak megfelel egy P(A) nemnegatív valós szám. Ezt a számot az a esemény valószínűségének nevezik.

III.P(Ω) = 1.

IV.Ha A és B diszjunktak, akkor P(A + B) = P(A) + P(B)

Az I-IV. axiómákat kielégítő (Ω, Φ , P) objektumot valószínűségi mezőnek fogjuk nevezni."

Az i. axiómához tartozó lábjegyzetből: "Az Ω halmaz részhalmazainak Φ rendszerét algebrának nevezzük ha Ω részhalmaza Φ , a rendszer két halmazának egyesítése, metszete és különbsége ismét ehhez tartozik."

Az idézett axiómákból kiindulva Kolmogorov levezette a valószínűségszámítás minden lényeges eredményét.