A SZUAN CSING

Si Huang nagy könyvégetésének esett áldozatul Kína első igazi matematikakönyve, a Csiu csang szuan su (Matematika kilenc fejezetben) is. Ez a könyv még a Csou-dinasztia idején, az i. e. 250 körüli években keletkezett összefoglaló mű, amelyből megismerhető Kína egész matematikája. Egyes kutatók a könyv anyagának összegyűjtését és egybeformálását az i. e. 150 táján élt Csang Can-nak (?-i. e. 152?),a tekintélyes államférfinak tulajdonítják. Könnyen hihető, hogy a könyvégetés után a mű anyagát valóban össze kellett szedni és rendezni az esetleg megmaradt, sérült, hiányos néhány példány alapján. Az biztos, hogy amíg végleges tartalmát és alakját el nem nyerte, addig többen átdolgozták és kiegészítették. Ezek között meg kell említenünk az I. századból Keng Csou-Csang-ot és Li Szin-t, a III. századi Liu Huj-t, a VI. században élt Csen Luan-t és a VII. századi Li Csun-Feng-et. Különösen kiemelendő Liu Huj, aki a könyv 9 fejezetét kiegészítette egy tizedikkel Haj tao szuan csing (Matematikai értekezés a tengeri szigetről) címen. Az így 10 részesre bővült könyv címe: Szuan csing (Matematikakönyv), amelyet az irodalomban szokás még a Tíz Klasszikus néven is idézni.

Az I. fejezet címe: A mezők mérése (Fang tien). A fejezet címében szereplő "tien" szó, illetve hieroglifa eredeti jelentése mező, később azonban a matematikában általában síkidomot jelent. A fejezet Fang tien címe tehát olyan árnyalattal "mező mérése", mint ahogy a görög geometria "földmérés". Amint tehát a címből sejthető, a fejezet főleg területszámítási feladatokat ölel fel. Az első felében példákat ad az egyenes szakaszokkal határolt különböző síkidomok területének kiszámítására, majd a körrel és a kör részeivel: körcikkel, körszelettel és körgyűrűvel foglalkozik. Mivel az idomok oldalait hol egész, hol törtszámokkal adja meg, azért bevezetésképpen megmutatja a közönséges törtekkel való számolást is, pontosabban a négy alapműveletet. A mai módszerektől lényegileg csak a törtnek törttel való osztása különbözik. Ezt mindig előzetes közös nevezőre hozással végzi el. Pontosan csak a négyzet, a téglalap, a trapéz és a háromszög esetében számol. Más síkidomnál megelégszik közelítő eredménnyel, például az általános négyszög területét úgy számítja ki, hogy a két szemben fekvő oldal számtani közepét megszorozza a másik két oldal számtani közepével. A kör területének meghatározásánál ez a valószínűleg legrégibb fejezet a pi értékét 3-nak veszi. A két párhuzamos húrral határolt körszelet területét úgy számítja, mintha trapéz lenne. Más, körívekkel vagy görbe vonallal határolt síkidomot is helyettesít a területszámításnál egyenes vonalú síkidommal. A fejezet ősi voltát mutatja az is, hogy terület-mértékegységül annak a téglalapnak a területét választja, amelynek egyik oldala 15 pu (lépés), a másik pedig 16 pu. Ugyancsak az anyag ősi eredetét árulja el a minden feladat végén visszatérő mondat: "Az a kérdés, hogy mekkora a mező?" A terület szót még nem használja, mert a feladat keletkezésekor külön a terület fogalma még nem létezett és a térfogaté sem. Csak a számolások közben alakult ki, hogy az eredetileg csupán a "csi" szóval jelölt eredmény megkülönböztetendő a terület és a térfogat esetén. A "csi" jelentését úgy lehetne visszaadni, hogy a feladat hosszúságadatainak a "szorzata". Idővel a területszámítás eredményét a "csi" hieroglifához csatlakozó "mian" jel fejezte ki, tehát a mian-csi (sík-szorzat) szó vette át a terület jelentését. Hasonló módon a "ti-csi" (tér-szorzat) a térfogatot jelenti. Az idők folyamán ugyanilyen értelemváltozáson, illetve kiegészülésen ment át a "tien" jel is. Mint említettem, kezdetben mező, aztán általában a síkidom írásjele volt, később pedig új hieroglifák csatlakozásával speciális síkidomokat jelentett; például a fejezetcím, a fang-tien a négyzet, a csi-tien (ferde mező) pedig a trapéz szónak a megfelelője. Ez a kis kitérő talán elég meggyőzően mutatja, hogy a gyakorlati számítások közben új meg új fogalmak születnek, a régiek átalakulnak, finomulnak, esetleg többfelé ágaznak. A számolás és a fogalmak fejlődésének ez a kölcsönös egymásra hatása jól érzékelhető már a Szuan csing keretein belül is, a különböző korokban keletkezett fejezeteket figyelve.

A Szuan csing II. részének címe: A különböző gabonafajták viszonya. Mezőgazdasági tárgyú feladatokat sorakoztat fel, olyanokat, amelyek az ún. hármasszabállyal oldhatók meg. Hármasszabálynak nevezzük az aránypár egyik tagjának a kiszámítását az adott három tagból. A fejezet megismertet az űrmértékekkel, a különböző árucikkek értékének a meghatározásával, az adózással kapcsolatos számításokkal stb. Általában olyan feladatokat találunk itt, amelyek az egyenes arány körébe tartoznak.

Az arányos elosztás című III. fejezet feladatai főleg arányos osztásra vezetnek, és alkalmazzák az összetett hármasszabályt is

A Szuan csing IV. fejezete (Sao kuang) az első rész feladatainak a megfordításait tárgyalja. Ezek megoldásához szükség van a négyzetgyök- és a köbgyökvonásra is. Megmutatja tehát, hogyan lehet ezeket a műveleteket elvégezni a számolótáblán. Ebben a részben kétféle szövegezésű négyzetgyökvonási, illetve köbgyökvonási feladat szerepel. Egyik részük adott négyzethez keresi a négyzet oldalát, a másik csoportjuk adott területű kör sugarának vagy kerületének kiszámítását kívánja. Az utóbbi feladatokban a pi értékét mindig 3-nak kell venni. Ezeknek megfelelően a köbgyökvonásra szánt feladatokban egy adott térfogatú kocka élét kell kiszámítani, illetve ismert térfogatú gömb sugarát. A gömbre vonatkozóan pi értékét 27/8 -nak (3,375-nek) kell tekinteni, bizonyára a köbgyökvonás kényelmesebb elvégzése érdekében. A fejezet meglepő érdekessége, hogy a gyökvonásnak a számolótáblán való elvégzésére olyan utasítást ad, amelyben a ma Horner-elrendezésnek nevezett eljárást ismerhetjük fel. Amint az eddigi számítási szabályoknál, itt sem találunk semmi magyarázatot. A módszer megokolása csak a XIII. században bukkan fel Csin Csiu-Sao Su su csiu-csang (A matematika 9 fejezete) című kéziratos munkájában, de még így is William Geor Horner (1786-1837) előtt 500 évvel. A VII. századi Vang Hsziao-Tung magyarázat nélkül ugyan, de a Horner-módszerrel, vagy találóbban a kínai-Horner-módszerrel harmadfokú egyenletek közelítő megoldásait határozta meg. A kínaiak "fang fa" módszernek nevezték (fang = gyökvonás, négyzetoldal, fa = osztó), aminek olyasmi jelentése lehetett, hogy az osztás segítségével végzett gyökvonás

A Szuan csing V. fejezete a Munka értékelése címet viseli, és ennek megfelelően olyan számítási feladatokat sorakoztat fel, amelyek különböző építési munkálatokkal kapcsolatosak. Fő tárgyai: a térfogatszámítás, a szükséges anyag és munkaerő meghatározása, a szállítóeszközökkel és általában a szállítással összefüggő számítási kérdések.

A könyv VI. fejezetének címe: Az arányos osztás. Tárgykörét tekintve hasonló kérdésekkel foglalkozik, mint a III. fejezet, de az itteniek bonyolultabb, sokszor hosszadalmasabb számolást igényelnek. Különösen érdekesek és az eddigiekhez képest újszerűek a sorozatok ismeretét kívánó feladatok.

A könyv VII. fejezete ("Felesleg - hiány") 20 feladatot tartalmaz, melyek egyenletrendszerrel való megoldást kívánnak.

A Szuan csing legnagyszerűbb része a VIII. fejezet. Ez bizonyára a legkésőbbiek közül való. Itt olvasható a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló "fang-cseng" szabály. Ez a fejezet címe is. A "fang" szó négyzetet is jelent, jelen esetben az egyenletrendszer együtthatóiból alkotott mátrixot. A fang-cseng szabály tehát egy bizonyos mátrixos megoldási módszer. Európában csak a XVII. században, Leibniz-nél jelentkezett először a determináns, illetve a mátrix fogalma. A mátrixműveleteknél elkerülhetetlen a negatív szám ismerete. Ez a rész valóban bevezeti az előjeles számokat és közli az összeadás és kivonás "cseng-fu" szabályát is (cseng-fu = pozitív-negatív).

A IX. fejezet címe: "Összefüggés a derékszögű háromszög oldalai között" (Kou-ku). A cím elárulja, hogy ebben a fejezetben főleg a Pitagorasz-tétel alkalmazásaival találkozunk. E fejezethez a III. századi kitűnő kínai matematikus, Liu Huj írt kommentárt, sőt - mint említettük kiegészítette a könyvet egy tizedik fejezettel is Haj tao szuan csing (Matematikai értekezés a tengeri szigetről) címmel. A kissé rejtélyes cím ügyes utalás mind a két fejezet tartalmára. Egyik is, másik is meg nem közelíthető távolságok meghatározására sorol fel példákat. E két geometria tárgyú fejezet azért is érdekes, mert tartalmazzák a pitagoraszi számhármasok egy képzési módját és másodfokú egyenletre vezető feladatokat. A másodfokú egyenletek megoldási receptje teljesen megfelel a mi megoldóképletünknek. A Szuan csing áttekintéséből kitűnik, hogy tartalmazza mindazokat a matematikai ismereteket és számolási eljárásokat, amelyek a kínai gyakorlati élethez szükségesek voltak. Ezért lett ez a mű, illetve sok része a hivatalnokok tankönyve. A Tang-dinasztia alatt, tehát a VII-VIII. században, de azután is sok száz esztendőn át a hivatalok elnyeréséhez szükséges vizsga egyik fontos része a Szuan csing volt.