IBN AL-HAISZAM, ABU-ALI HASZAN (ALHAZEN, 965-1039?)

Korának legnagyobb arab fizikusa, különösen az optikában jeleskedett. A matematikában is azzal örökítette meg a nevét, hogy az egyik fénytani feladatával számos későbbi nagy matematikus is foglalkozott. Ez az ún. Alhazen-probléma az Optikájában szerepel: Keressük meg a gömbtükör azon pontját, ahova be kell esnie egy adott pontból kiinduló fénysugárnak, ha azt szeretnénk, hogy visszaverődése után egy másik adott ponton menjen át. Ez geometriailag egyenértékű azzal a feladattal, amely szerint egy kör síkjában két adott ponton át két olyan egyenest kell szerkesztenünk, amelyek a kör kerületén találkoznak és egyenlő szöget zárnak be a kör e pontjához tartozó sugár egyenesével.

Alhazen neve szintén kapcsolatos a párhuzamossági axiómára vonatkozó vizsgálatokkal. Egyike volt azoknak, akik már igen korán úgy gondolták, hogy Eukleidész ötödik posztulátuma nem független a többitől, és azért igyekezett a többi axiómával bebizonyítani.

OMAR HAJJÁM (1048-1131)

Tudós perzsa költő, matematikus, csillagász és filozófus. Nevét Európában 1860 táján ismerték meg. Ekkor jelentek meg híres négysoros versei, amelyekből kb. 1000 maradt meg.

A matematikus Omar Hajjám egyik könyve Az algebrai feladatok megoldásáról, amely túlhaladja AL-Hvárizmi anyagát, foglalkozik a harmadfokú egyenletekkel is. Ebben az elsők között választja élesen szét a tisztán algebrai módszert a geometriai eljárástól, habár mind a kettőt tárgyalja. Az általános harmadfokú egyenletről úgy gondolta, hogy csak geometriai úton oldható meg. Gondolatmenete szerint az első- és másodfokú egyenletek síkbeli szerkesztéssel oldhatók meg, a harmadfokúak pedig már csak térbeli szerkesztéssel. Így aztán a harmadfokú egyenletek gyökeinek a megkeresésére más eljárás után kutatott, és a kúpszeleteket hívta segítségül. Omar Hajjám már nagyon tudatosan elkülönítette a tisztán algebrai módszereket a geometriai eljárásoktól, gondolkozásában azonban ő sem tudta száműzni az algebrából a geometriát. Érdemei közé tartozik az is, hogy az arányokat is igyekezett számoknak tekinteni, azaz törekedett a racionális szám fogalmának a kialakítására. Ezen túlmenően az irracionális számokra is adott közelítő értékeket, azaz elindította azt a folyamatot is, amelynek révén az irracionális számok később elnyerték a „szám” rangját. Algebrájában megtaláljuk a kéttagú kifejezések négyzetét, köbét, harmadik, negyedik és magasabb hatványait, vagyis a binomiális együtthatók rendszerét, amely már ekkor Kínában a „Pascal-háromszög” elrendezésben ismeretes volt. Valószínűnek látszik, hogy Omar Hajjám a kínaiaktól függetlenül fedezte fel a binomiális együtthatókat, mert az ő idejében Kína és Perzsia között gyakorlatilag nem volt kulturális érintkezés, hacsak arra nem gondolunk, hogy a Perzsián átvivő „selyemút” lehetővé tett bizonyos ismeretátszivárgást is.

NÁSZIRADDÍN AT-TÚSZI ABU-DZSAAFAR MUHAMMAD IBN MUHAMMAD (1201-1274)

A mai Irán területén, az akkori Horászán tartomány fővárosában Tuszban született. Iskoláit is itt végezte. Ezekre a tényekre utal nevében az at-Túszi jelző. Egy ideig Bagdadban is működött. 1235 és 1256 között az asszaszinok Alamut nevű erődjében élt. 1256-ban került Násziraddín Dzsingisz kán unokájának, Hulagu kánnak, az akkori mongol fejedelemnek udvarába. A kán, felismerve képességeit, személyi tanácsadójává tette, és számára Maraga városban, a mai Tabriz mellett, csodálatos csillagvizsgálót építtetett. Násziraddín irányítása alatt ez az obszervatórium tekintélyes természettudományos központtá terebélyesedett, amely támogatta és összefogta az akkori Kelet tudósait, és működési lehetőséget biztosított nekik. Ez az intézet pótolta a mongolok által feldúlt bagdadi Tudomány Házát. A maragai csillagvizsgáló könyvtárában mintegy 400 000 kézirat állt a kutató tudósok rendelkezésére. Násziraddín összegyűjtötte és táblázatba foglalta azokat a csillagászati megfigyeléseket, amelyeket az intézet alapításától, tehát 1259-től tettek. Ez a táblázat tartalmazza a megfigyelési eredményeket egészen 1271-ig. Segítségével meg lehetett határozni a Nap és a bolygók helyzetét. Ezt egészítette ki egy nagy csillagkatalógus, az Elkan-katalógus. Személyes érdeme még Násziraddínnak, hogy nagyon pontosan meghatározta a Föld precesszióját, amelyet 51,4 másodpercnek talált. Természetesnek látszik, hogy mint csillagász, a trigonometriával is foglalkozott. Használta mind a hat szögfüggvényt, és megoldott sok sík- és gömbtrigonometriai feladatot. A szinusz- és a tangensfüggvényekre egyperces szögváltozásokkal hatjegyű táblázatot szerkesztett. Legnagyobb érdeme a trigonometria terén az, hogy elsőként kezelte a trigonometriát a csillagászattól elválasztott, önálló matematikai területként, és tárgyalta rendszeres felépítésben mind a sík-, mind a gömbi trigonometriát. Sajnálatos, hogy ez a szemlélete elszigetelt maradt egészen Regiomontanus felléptéig, mert műveit és eredményeit Nyugaton csak nagyon későn ismerték meg John Wallis (1616-1703) fordítása alapján. Valószínűleg ebből a fordításból értesült Saccheri is Násziraddín azon próbálkozásáról, amelynek célja az ötödik posztulátum bebizonyítása volt. A párhuzamossági axiómával összefüggő vizsgálatok tehát Prokloszon, Alhazenen, Omar Hajjámon és Nászrahaddínon keresztül Wallis közvetítésével jutottak el Lamberthez és Saccherihez, hogy végül is Bolyai János és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792-1856) rátaláljanak a probléma teljes megoldására.

AL-KÁSI DZSAMSID GIJÁSZADDÍN ( ?-1429)

1427-ben jelent meg Az aritmetika kulcsa című könyve. Ebben al-Kási ismertette a tizedes törteket, amelyeket saját találmányának tekintett, bár lehetséges, hogy legalább az ötlet Kínából származott. Mindenesetre könyve az első írásos ismertetés a tizedes törtekkel való számolás szabályairól. Kár, hogy ezt a könyvet nagyon későn ismerték meg Európában, így a felfedezés feledésbe merült, és ez a számfajta csak 1585-ben vált ismeretessé Simon Stevin La disme (A tizedes egység) című munkája nyomán.

ABUL-VAFA (VEFA), MUHAMMAD AL-BUZDZSÁNI (940-998)

Korának neves csillagásza és matematikusa volt. A keleti kalifátus fővárosában, Bagdadban végezte csillagászati megfigyeléseit és matematikai fordítói, kommentátori munkásságát. Lefordította és magyarázta Eukleidész és Diophantosz munkáit. A magyarázatokban fellelhetjük a fordítónak is néhány eredményét. Két önálló munkája maradt ránk. Az egyik gyakorlati jellegű aritmetika, amelynek címe: Könyv arról, ami az aritmetikából az írnokoknak és az üzletembereknek szükséges. Trigonometriájában találjuk az első tiszta igazolását a kétszeres és a félszögekre vonatkozó addíciós formuláknak. A szinusztételt, amelyet már Ptolemaiosz is használt, és amely Brahmaguptánál is előfordul, sokan Abul-Vafa nevéhez kapcsolják, azért a nagyon világos megfogalmazásáért, amely gömbháromszögtanában található. Nemcsak a trigonometriában jeleskedett, hanem szerzett érdemeket az algebrában is, főleg azzal, hogy kommentálta AL-Hvárizmi Algebráját, és görögből lefordította Diophantosz Arithmetikáját.

AL-BÍRÚNI, ABUR-RAIHÁN MUHAMMAD IBN AHMAD (973-1048)

Teljes leírását adta a hindu Sziddhántáknak és a helyi értékes 10-es számrendszernek. Ismertette Brahmaguptta tételét is, amely a Hérón-tétel általánosítása, de ugyanakkor helyesen jegyezte meg, hogy a tétel csak húrnégyszögekre érvényes. Tőle tudjuk azt is, hogy Arkhimédész már ismerte a Hérón-formulát.

Utazásai közben tanulmányozta India földtani szerkezetét, és sok helymeghatározást is végzett. Az első nagyobb tudományos könyve a térképészettel is foglalkozott. Ebben használta a félgömbnek a síkra való leképezését. Csillagászati eredményei közül kiemelkedik a nappálya apogeummozgásának a leírása (apogeum = földtávolpont). Nagyon világosan látta a csillagjóslás alaptalanságát, és ezt ki is fejtette az Értekezés a csillagjóslás kezdetéről című tanulmányában. Fontos csillagászati és geográfiai munkájának latin címe: Canon al Masudi seu tractatus geografico-astronomicus (A Maszúd szultán számára összeállított földrajzi-csillagászati ismeretek tárgyalása). Írt orvostudományi könyvet is, és elsőnek készített fajsúlytáblázatot. Ez a nagyon széles érdeklődésű tudós a gömbről szóló munkájában bebizonyította a gömbháromszögtani szinusztételt. A Gnómika című könyvében ismertette a tangens- és a kotangensfüggvényeket. Amint a mű címe elárulja, az értelmezés a gnómónhoz, a napórához kapcsolódik. A napóra lényege egy vízszintes síklapra állított pálca, amelynek árnyékáról következtettek az időre. A napórához kötött szögfüggvény-értelmezés kimondottan hindu-arab elképzelés. A szögfüggvények ábrázolására al-Bírúni is bevezette az egységsugarú kört. A körbe írható szabályos kilencszög szerkesztését visszavezette a

cos3α=4cos3α−3cosα

összefüggésen keresztül az x³=3x+1 harmadfokú egyenlet megoldására. Ezt próbálgatásos módszerrel oldotta meg, és hattizedes pontosságú közelítő megoldást kapott (1,870 9129).

Al-Bírúni kultúraközvetítő szerepe kétirányú volt. Nem csupán arab nyelvű munkáiból lehet megismerni a korabeli Indiát, hanem szanszkrit nyelvű írásai a hindukat is megismertették a görög matematikával és csillagászattal.