A HALMAZELMÉLET KIALAKULÁSA

Az ember által alkotott fogalmak közül különös érdeklődésre tarthat számot a végtelen fogalma, már csak azért is, mert csupa véges természetű tapasztalataink alapján egyáltalában kialakulhatott, ami nem is olyan magától értetődő.

A véges halmazok régtől élő intuitív fogalma nem okozott különös problémát, de az már igen, hogy amikor Galilei minden négyzetszám alá egy természetes számot írt:

1² , 2² , 3² , 4² , 5² , 6² , ..., n² , ...

1, 2, 3, 4, 5, 6, …, n, …

és ezzel mintegy megszámlálta a négyzetszámokat, akkor ebből azt a következtetést lehetett levonni, hogy ugyanannyi négyzetszám van, mint ahány természetes szám.

Dedekind felismerte, hogy a végtelen halmaz és annak végtelen részhalmazai közti Bolzano-féle egymáshoz rendelés az a művelet, amely a véges és végtelen halmazokat elválasztja, amely a végtelen halmazok definiálására alkalmas. Végtelen halmazoknak nevezhetjük tehát azokat, amelyeknek létezik részhalmaza úgy, hogy a teljes halmaz és e részhalmaz elemei között kölcsönös és egyértelmű megfeleltetés létesíthető.

Cantor Dedekindnél is tovább jutott. Felismerte a végtelen halmazok jellemző tulajdonságát, sőt továbblépve kifejtette, hogy léteznek végtelen halmazok, amelyek alapvetően különböznek egymástól. Először is két halmazt ekvivalensnek mondott, ha elemeik között kölcsönös és egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A véges halmaz tehát egyetlen valódi részhalmazával sem ekvivalens. A végtelen halmaznak pedig létezik olyan részhalmaza, amellyel ekvivalens. Azután bevezette a végtelen halmazok megszámlálhatóságának a fogalmát. Megszámlálható egy végtelen halmaz, ha elemei kölcsönös és egyértelmű módon társíthatók a természetes számokkal. A páros számok halmaza például megszámlálható halmaz, mert a:

2, 4, 6, 8, 10, 12, …, 2n, …

1, 2, 3, 4, 5, 6, …, n, …

felírás szerint a páros számok kölcsönösen és egyértelmű módon hozzárendelhetők a természetes számokhoz. E tényt Cantor úgy is megfogalmazta, hogy a páros számok halmazának számossága akkora, mint a természetes számok halmazának számossága. E két halmaz ekvivalens, azaz számosságuk azonos. Minden olyan halmaznak, amelynek elemei ilyen sorozatba rendezhetők, vagyis megszámlálhatók, akkora a számossága, mint a természetes számok halmazának. Cantor kimutatta, hogy a racionális számok halmaza is megszámlálható. Ha ugyanis a racionális számokat felírjuk, és az 11 -től kezdve sorrendbe rendezzük, akkor világos, hogy a racionális számok a

11 , 21 , 13 , 11 , 22 , 31 , 41 , ...

sorozatban rendeződnek. Az a lényegen nem változtat, csupán szépíti e sorozatot, ha azokat az elemeit nem írjuk fel, amelyek előbb már szerepeltek. Az eljárás azt is mutatja, hogy a megszámlálhatóan végtelen sok, megszámlálható végtelen halmaz egyesítése is megszámlálható.