A DIFFERENCIÁLGEOMETRIA

Bárhogyan is határozzuk meg a síkban egy pont helyét, az mindig két számadattal történik, például a Descartes-féle koordináták esetében is, és a polárkoordináták használatakor szintén. Ez a két szám azonban magának a koordinátasíknak a helyzetéről semmit sem mond, tehát ezek a számpárok a sík „belső” geometriáját jellemzik, a síkon belüli geometriai feladatok számára teszik lehetővé az algebrai módszert. Gauss ezt a gondolatot vitte át a koordinátasíkról tetszőleges felületre. Vegyük észre, hogy a Descartes-féle síkon a két koordinátának például az egész értékei egy egyeneshálót határoznak meg. Persze ez a háló az x és y értékek megválasztásával tetszés szerint sűríthető. Vegyük ehhez még azt is, hogy az x és y koordináták valamely u és v paraméterpár függvényeként is megadhatók. Ez történik például, amikor a derékszögű koordinátákat átírjuk polárkoordinátákra. Általában x és y megadható x = x(u; v) y = (u; v) paraméteres alakban, ahol x és y folytonos és differenciálható függvénye az u és v változóknak. A továbbiak miatt ki kell kötnünk azt is, hogy az ún. függvénydetermináns:

|δx δu δx δv δy δu δy δv|≠0

Amikor Gauss a hannoveri kormány megbízásából a tartomány geodéziai felmérését vezette, arra gondolt, hogy miért ne lehetne a szeszélyesen változó földfelszínt is az előbbiek mintájára beborítani két vonalsereg által alkotott vonalhálóval. Természetesen most a görbe koordinátavonalak általában nem merőlegesen metszik egymást. A Gauss-féle görbe vonalú koordináta-rendszerben a felületen a felület pontjait az u, v számpárok egyértelműen meghatározzák. Gaussnak a görbe vonalú koordináták bevezetése után kiemelkedő felfedezése volt az, hogy valamely felület geometriája teljesen felépíthető a felületen mért távolság definíciója alapján. A szemléletesség kedvéért gondoljunk megint a síkra. A sík P₁(x₁;y₁) és P₂(x₂;y₂) pontjainak távolságát meghatározza az ismert

s²=(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²

képlet. Itt most az x₁ , y₁ és x₂ , y₂ koordinátákat csupán a két ponthoz rendelt számpároknak tekintjük, megfosztva azokat minden távolságmérték jellegüktől. Ebből az egyetlen távolságdefinícióból nyerhető az egyenesnek mint a két pontot legrövidebb úton összekötő görbének az egyenlete, és a körnek mint a centrumtól azonos távolságú pontok összességének az egyenlete is. A szög mérőszáma pedig a körív és a sugár hányadosa értelmezés alapján érhető el. Ilyen módon a távolságdefinícióból előáll a sík geometriájának minden építőeleme.

Ha a távolság definícióját infinitezimális mennyiségekkel fogalmazzuk meg, akkor az (x;y) pont és az (x + ∆x ; y + ∆y) pont közötti távolságnégyzete

ds²=dx²+dy²

ahol a dx és dy jelölik, hogy a ∆x és ∆y tetszőleges kicsinnyé tehetők. Ezen definíció alapján az y = f(x) görbe P és Q pontok közötti ívének s hosszát meghatározza az

s=∫PQ₁+[f'(x)]²dx

képlet. Megkereshető az az f(x) görbe, amelynél a tetszőleges két pontja közti távolság a görbén mérve a legkisebb. Eredményül a síkban az egyenesegyenletét kapjuk, és távolságképletként az

s²=(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²

összefüggést. Elég eszerint a távolságot infinitezimális mennyiségekkel meghatározni. Az x és y koordináták helyett természetesen használhatók valamely felületen a Gauss-féle görbe vonalú koordináták is. Gauss kimutatta, hogy a térbeli esetben is az ívelem

ds²=dx²+dy²+dz²

definíciója alapján felépíthető valamely térbeli görbült felület teljes geometriája.

Gauss azonban maga is meglepőnek találta, és ezért theoria egregiumnak (kiemelkedő tételnek) nevezte el azt a felfedezését, hogy valamely felületnek a Gauss-féle görbülete előállítható csupán a felületen definiált, tehát az u és v paraméterekkel meghatározott ívelem segítségével. Ez azért meglepő, mert az ívelem a felületbelső tulajdonsága, meghatározására nem kell a felületből kilépni a térbe, ugyanakkor a Gauss-görbület kimondottan a felületen kívüli térben tükrözi a felület alakját. Ennek messzemenő fizikai következményei is vannak. Nem jelent ez kevesebbet, mint azt, hogy a felületben élő értelmes lény következtetni tud csupán felületének belső geometriai tulajdonságaiból felületének görbültségére. Általánosítva: Mi, a háromdimenziós lények meg tudjuk - meg tudtuk - állapítani a negyedik dimenzióérzékelése nélkül is, hogy terünk görbült, Gauss-féle görbülete kiszámítható. Az igazság kedvéért megjegyezzük, hogy terünk görbültségét fizikai jelenségekből állapíthattuk meg Albert Einstein relativitás elmélete alapján. Einstein azonban fizikájának geometriájához nem véletlenül kérte kölcsön a Gauss-féle görbe vonalú koordinátákat. A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria kedvéért - amelyről később szándékozom szólni - kitérek Gaussnak egy szintén meglepő differenciálgeometriai eredményére. Rábukkant a nevezetes

α+β+γ−π=∫Δkdσ

összefüggésre, ahol α, β és γ valamely felületen a geodetikus vonalak által bezárt háromszög szögei, k a Gauss-féle görbület és dσ a felületem. Az integrálást ki kell terjeszteni a háromszög egészére. Az állandó k görbületű felület esetében k az integráljel elé emelhető, és ∫Δdσ a háromszög területe. Ekkor tehát

kt = α + β + γ - π

A k értéke szerint a következő esetek lehetségesek:

1. Ha k>0 , azaz a felület minden pontja elliptikus, akkor t=1k(α+β+γ−π)

2. Ha k<0 , azaz a felület minden pontja hiperbolikus, akkor t=1k(π−α−β−γ)

3. Ha k = 0, azaz a felület minden pontja parabolikus, akkor α + β + γ = π, ami az euklideszi geometria jellemző törvénye.