AZ ANALITIKUS GEOMETRIA FEJLŐDÉSE

A XVII. század nagy vívmánya a mozgás matematikájának a megszületése: a matematikai analízis alapjainak a lefektetése. E téren a kezdetet nem Descartes jelenti, hanem Apollóniosz, aki ha nem is vezette be a koordinátarendszer fogalmát, de azzal, hogy a valamely kúpszelet definiálására alkalmas alaptulajdonságot következetesen két konjugált átmérő egyenesére vonatkoztatta, és az így nyert összefüggésből új tulajdonságokra következtetett, valójában ferdeszögű koordináta-rendszerben gondolkodott. A koordináták gyakorlati alkalmazása, szélesség és hosszúság elnevezéssel, a földrajzi helyek meghatározásának kézenfekvő eszköze volt már a ptolemaioszi Geographiának is. Felbukkant a derékszögű koordináta-rendszer akkor is, amikor Oresme az időbeli sebességváltozást ábrázolta. Ennél nem fejlettebb Descartes koordináta-rendszere sem, mégis e fogalom a köztudatban legszorosabban az ő nevével fonódott össze, nem is egészen érdemtelenül, ha számításba vesszük, hogy ő volt az, aki a már fejlett algebrai jelöléseket és eljárásokat következetesen alkalmazta a geometriára a koordináta-rendszer segítségével, követendő példát mutatva az algebrai és a geometriai módszerek együttes használatára.

René Descartes Du Peron (1596-1650)

Magasrangú bíró gyermekeként született, 8 éves korában La Fleche-be, az ottani jezsuita kollégiumba került. Tanulmányai közül a matematikát becsülte legtöbbre, mint olyat, amely kényszerítő erejű igazságokat közöl. 17 éves korában Párizsba ment, majd jogot tanult, később önkéntesként szolgált az orániai herceg hadseregében. 1629-ben Hollandiában telepedett le, az itt eltöltött 20 esztendő termékeny időszaka volt.

1637-ben jelent meg a módszerről írt francia nyelvű filozófiai műve, a Discours de la méthode (Értekezés a módszerről), filozófiájának összefoglaló leghíresebb könyve. 1644-ben adta ki a gondolatait legrészletesebben tárgyaló munkáját, A filozófia alapelveit. Az ortodox holland protestánsok azonban filozófiáját hivatalosan is elítélték, műveit elégették, még élete is veszélybe került. 1649-ben elfogadta Krisztina svéd királynő meghívását.

A Módszer filozófiai részéhez három függelék csatlakozik: Dioptrika, Geometria és Meteorok címen. Ezek közül bennünket a Geometria érdekel, amely Descartes matematikai gondolatait tartalmazza. A görög matematika minden algebrai problémát átfogalmazott geometriaivá, és az algebrai feladatokat is geometriai szerkesztésekkel oldotta meg. Descartes újítása ennek a fordítottja. Az ő reformja lehetővé teszi, hogy geometriai kérdéseket algebrai úton válaszoljunk meg. Ennek egyik előfeltétele volt az algebrai jelölések és módszerek kellő fejlettsége, ami Descartes korában már majdnem a szükséges mértékben rendelkezésre állt. A második feltétel az aritmetikai műveleteknek a geometriába vitele. Ez utóbbit maga Descartes teremtette meg. Abból indult ki, hogy minden geometriai probléma visszavezethető szakaszok hosszúságának a meghatározására. Ha tehát sikerül a szakaszok közötti aritmetikai műveletek közvetítésével, algebrai úton is megoldhatókká válnak. Az összeadás, illetve a kivonás minden további nélkül értelmezhető a szakaszok összeillesztésével, illetve elvételével. Két szakasz szorzását és osztását, amikor eredményül is szakaszt akarunk kapni, a párhuzamos szelők tételének segítségével definiálta. Ehhez kell egy - tetszőleges - egységszakaszt választanunk. Ekkor két, a és b szakasz szorzatának a keresése egyértelmű egy olyan c szakasz meghatározásával, amely kielégíti az 1 : a = b : c feltételt. Hasonló módon az a : b = d hányadosra igaz, hogy b : a = 1 : d. Mindkettő elvégezhető az ún. negyedik arányos szerkesztésével.

Egy adott szakaszból való gyökvonás pedig az egységszakasz és az adott szakasz közti (egy vagy több) mértani középarányos szerkesztésével adható meg. Descartes tehát úgy definiálta a szakaszok közötti műveleteket, hogy - ma így mondanánk - a szakaszok teste izomorf legyen a valós számtesttel. Ez visszahatott a hatványok értelmezésére. Az a² -nek a neve ugyan négyzet marad, de geometriailag már nem az a oldalú négyzetet, hanem az a • a szakaszt jelenti, ugyanúgy a³ geometriai megfelelője is egy szakasz. Ez az új szemlélet az algebrában is megszüntette a görög korlátokat, például azt, hogy a harmadfokúnál magasabb fokú egyenlet értelmetlenség, mert például x4 geometriailag a háromdimenziós térben nem értelmezhető. A most ismertetett művelet definíciók és az a nagyon kezdetleges koordináta-rendszer (egyetlen kezdőponttal ellátott egyenes és az azzal szöget bezáró párhuzamos szakaszok serege), amelyet Descartes használt, már lehetővé tette, hogy síkgörbék egyenleteit írhassa fel, és azok alapján következtessen a görbék természetére.

PIERRE FERMAT (1601-1665)

Korának legnagyobb francia matematikusa jogász volt, és csak "műkedvelő módon" szabadidejében foglalkozott matematikával. Matematikai tanulmányait az ógörög művek olvasásával kezdte, és eközben hozzáfogott Apollóniosz Plane loci (Síkmértani helyek) című munkájának rekonstruálásához, főleg Papposz utalásai alapján. Apollóniosz tanulmányozása közben, 1636-ban - tehát még Descartes közlései előtt - fedezte fel az analitikus geometria egyik alapvető elvét, hogy ti. a kétismeretlenes egyenlet valamilyen vonalat jelenthet, egyenest vagy görbét. Rájött, hogy az Oresme-féle koordináta-rendszer és az algebrai jelölések birtokában az apollónioszi kúpszeletelmélet sokkal áttekinthetőbb, és azért a további eredmények elérésére is alkalmasabb formában fejezhető ki. Az Ab locus planos et solidos isagoge (Bevezetés a síkbeli és térbeli mértani helyek elméletébe) című munkája levelezőtársai előtt már 1636-ban ismeretes volt, de nyomtatásában ez is csak 1679-ben jelent meg. A mű bevezetésében Fermat ismertette az Oresme-féle paralel koordináta-rendszert, majd rátért annak a kimutatására, hogy az elsőfokú kétismeretlenes egyenleté pedig kúpszelet. Nagy rendszerességgel - Apollóniosz gondolatmeneteit követve - levezette a kör, az ellipszis, a hiperbola és a parabola egyenletét. Az Apollóniosz-féle szümpómát ő már a vonal egyenletének nevezte.