A Thálész-tétel

Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója.) Ez Thalész tétele.

A Thálész-tétel bizonyítása

Bizonyításához az O középpontú kör átmérőjére rajzolt megfelelő ABC háromszög A-nál lévő szögét α-val, a B-nél levő szögét β-val jelöljük.

Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszögeket kapjuk. Az ábrán láthatók az egyenlő szögek. Ezek alapján a belső szögek összege:

α+ β + (α + β) = 180°,

α+ β = 90°.

Tehát az ABC háromszög valóban derékszögű.

Thalész tételéből következik, hogy ha az AB átmérő két végpontját a kör egy belső P_b pontjával kötjük össze, akkor az derékszögnél nagyobb, ha az AB átmérő végpontjait egy külső P_k ponttal kötjük össze, akkor az a derékszögnél kisebb.

Ha a P_b, illetve a P_k pont az AB egyenes egy pontja, akkor az állítás fennáll. Más esetben az AP_b, illetve az AP_k egyenes és a kör metszéspontját jelöljük M-mel. Ezzel kialakítottuk az AMB derékszögű háromszöget.

Az a P_bMB derékszögű háromszög egyik hegyesszögének a mellékszöge, tehát valóban nagyobb a derékszögnél.

Az a P_kMB derékszögű háromszög egyik hegyesszöge, tehát valóban kisebb a derékszögnél.

Az előzőekből következik, hogy Thalész tételének a megfordítása is igaz.