Eukleidész axiómarendszere

Eukleidész (i.e. 300 körül)
Időszámításunk előtt 300 körül Eukleidész munkássága új korszakot jelentett a matematika történetében. Több matematikai műve maradt fenn, azonban közülük egy, az Elemek című munkája magasan kiemelkedik a többi közül. Ebben nemcsak összefoglalta korának matematikai ismereteit, hanem azokat akkor újszerű, rendezett módon tárgyalta. Az a logikai rend, amelyet könyvében felépített, mintegy két évtizedig iránymutató lett, és ezzel megalapozta a matematika új korszakát. Eukleidész axiómáit a XIX. századig kifogástalannak tekintették, de a XIX. század első felében kritikus szemmel kezdték vizsgálni. A XIX. század folyamán született meg az a merész gondolat, hogy többféle axiómarendszer is lehetséges, nemcsak egyetlen axiómarendszer alapján lehet geometriát felépíteni.

Az euklideszi szerkesztésről

A geometriai szerkesztéseket körzővel, vonalzóval végezzük. Ezek használata az ókorban kezdődött. Eukleidész híres könyvében, az Elemekben szerkesztési eljárásokat is leírt. Eukleidész tekintélye oly nagy volt, hogy a matematikusok sokáig csak azokat az eljárásokat tekintették szerkesztéseknek, amelyeket ő is használt, és az ő munkája nyomán kialakították az „euklideszi szerkesztés” fogalmát.

Az euklideszi szerkesztés megengedett lépései a következők:

a) a vonalzót két adott ponthoz illesztve meghúzhatjuk a két pontra illeszkedő egyenest;

b) két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük;

c) adott pont körül adott sugárral kört rajzolhatunk;

d) két egyenes metszéspontját meghatározhatjuk;

e) egyenes és kör metszéspontjait meghatározhatjuk;

f) két kör metszéspontjait meghatározhatjuk.

Idővel a szerkesztés fogalma bővült. Mi derékszögű vonalzót is használunk a szerkesztéseknél. Egy derékszögű háromszög és egy másik vonalzó segítségével párhuzamos és merőleges egyeneseket is szerkesztünk. Ezek a szerkesztési módok azonban már nemeuklideszi szerkesztések.

Feladat: háromszög szerkesztése

1. példa: Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott a c oldala, az adott oldalon fekvő egyik szöge, az α és az adott oldalhoz tartozó m_c magassága!

Megoldás: háromszög szerkesztése

A példa nem tartalmaz konkrét adatokat. Vegyünk fel mi két szakaszt (c-t és m_c-t) és egy szöget (α-t)!

Először készítsünk vázlatrajzot. A vázlat a szerkesztendő háromszöget, az adott adatokat nevek feltüntetésével tartalmazza. A vázlatrajz néhány eleme szabadon felvehető a szerkesztés elején. Ezeket vastagon rajzolhatjuk meg. Példánkban a szerkesztésünk elején a c oldalt rajzoljuk meg szabadon, az ábrán az A és B pontokat • jellel megjelöltük. Most már a háromszög szerkesztése a C pont megszerkesztését jelenti.

Ezek után a szerkesztés menetét írjuk le. Szavakkal kell megfogalmaznunk, hogyan jutunk el ahhoz a két vonalhoz, amelyek metszéspontja a C pont. Példánkban az egyik vonal az AB szakasszal párhuzamos, attól m_c távolságra lévő egyenes, a másik vonal az A pontból induló, az AB szakasszal a szöget bezáró félegyenes lehet. A szerkesztés menete ezen vonalak megszerkesztésének leírását jelenti.

A leírás után végrehajtjuk, kivitelezzük a szerkesztési eljárásunkat.

Végül a szerkesztés diszkusszióját végezzük el, azaz megvizsgáljuk, hogy az adatok változtatásával hogyan változik a megoldhatóság, illetve a megoldások száma. Példánkban a megoldás két egyenes metszéspontjaként adódott. Amennyiben 0° < α < 180°, a két egyenesnek pontosan egy metszéspontja lesz. A 0° < α < 180° feltétel nyilvánvalóan szükséges a megoldhatósághoz.

Az α nagyságától függően különböző típusú háromszögeket kaphatunk.