Megfordítható-e a tétel?

Vajon a Pitagorasz-tétel megfordítása igaz-e? Ha egy háromszög k, l, m oldalaira fennáll a k² + l² = m² összefüggés, akkor a háromszög derékszögű-e?

Kérdésünk indokolt. Abból, hogy egy tétel igaz, nem következik az, hogy a megfordítása is igaz. Például igaz állítás az alábbi: „Ha két szám egyenlő, akkor négyzetük egyenlő.” Ennek az állításnak a megfordítása: „Ha két szám négyzete egyenlő, akkor a két szám egyenlő.” Ez nem igaz, hiszen 5² = ( -5)², de 5 ≠ -5.

Azt, hogy a tétel megfordítása igaz-e, mindig külön kell megvizsgálnunk.

A Pitagorasz-tétel megfordítása

Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldalának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. (A három oldal közül az a kettő a befogó, amelynek a négyzetösszegét vettük.)

A tétel megfordításának bizonyítása

A Pitagorasz-tétel megfordítását indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy fennáll a k ² + l ² = m ² összefüggés, de a k, l, m oldalhosszú háromszög nem derékszögű. Vegyünk fel k és l befogókkal egy derékszögű háromszöget. Átfogója legyen m’, ami különbözik m-től, azaz m’ ≠ m. Ez derékszögű háromszög, tehát a Pitagorasz-tétel szerint: k ² + l ² = m’ ², azaz k ² + l ² ≠ m ². Ez ellentmond a feltételünknek, így m’² = m ², de m’ és m mindkettője pozitív, ezért előjelben sem különbözhetnek. Tehát m = m’, ami ellentmond a már felírt m’ ≠ m-nek. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a Pitagorasz-tétel megfordítása igaz.