Tétel: egyenlő szögek - egyenlő oldalak

Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor az ezekkel szemközti oldalak egyenlő hosszúak.

Röviden:

. (2)

Bizonyítás: egyenlő szögek - egyenlő oldalak

Visszatérünk a háromszöghöz. Vajon igaz-e az előző tétel megfordítása? Vajon a háromszögben két szög egyenlőségéből következik-e a szögekkel szemközti két oldal egyenlősége?

Az ábrán az A és a C csúcsnál levő szögek egyenlők, mindkettő α. Húzzuk meg a B csúcsnál lévő β szög szögfelezőjét!

Mivel az ADB és a CDB háromszögekben egy oldal (ez a BD) és két megfelelő szög (a és az α) egyenlő, ezért a háromszögek egyértelműen meghatározottak. Így további adataik is egyenlők, azaz

AB = BC.

Ezzel beláttuk, hogy az előző tétel megfordítása igaz.

Az előző két tétel egymásnak megfordítása. Az (1) és (2) felírásuk hasonló alakú. A két felírást az alábbi módon összefoglalhatjuk:

. (3)

A (3)-mal jelzett ekvivalens állításokat olvashatjuk így:

Ahhoz, hogy egy háromszög két oldala egyenlő legyen, szükséges és elegendő, hogy a velük szemközti két szög egyenlő legyen.

Egy háromszög két oldala akkor és csak akkor egyenlő, ha a velük szemközti szögeik egyenlők.