A súlyvonal fogalma

Egy háromszög súlyvonalának a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt nevezzük.

A háromszögnek három súlyvonala van.

A súlypontra vonatkozó tétel és bizonyítása

Húzzuk meg az ABC háromszögA és B csúcspontjából kiinduló súlyvonalait. Az ábra F₁F₂szakasza a háromszög egyik középvonala, ezért

és

Jelöljük a két súlyvonal metszéspontjátS-sel. Az ABSháromszögnek rajzoljuk meg az AB oldalával párhuzamos középvonalát. Ez az AS, illetve a BSszakaszokG₁, illetve G₂felezőpontját összekötő szakasz. Erre a középvonalra

és

Ezek miatt G₁G₂ || F₁F₂ és G₁G₂ = F₁F₂.

Ebből következik, hogy a G₁G₂F₂F₁négyszög paralelogramma. Annak az átlói felezik egymást, tehát G₁S = SF₂. A G₁ pontot azonban felezéssel kaptuk, így AG₁ = G₁S = SF₂. Ezért fennáll az alábbi arány:

AS : SF₂. = 2 : 1.

Szavakkal: két súlyvonal metszéspontja, az S pont, a súlyvonalakat a csúcsoktól számítva 2 : 1 arányban osztja két részre. Ez az arány bármely két súlyvonalra fennáll, ezért a harmadik súlyvonalnak is át kell haladna ezen a ponton. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük. (Egy háromszög alakú lemezt ebben a pontjában alátámasztva, a lemez egyensúlyban van.)