Feladat: szorzat vizsgálata

6. példa: Oldjuk meg az (x - 5)(x + 2)(2x - 1)(3x - 5) = 0 egyenletet!

Megoldás: szorzat vizsgálata

Itt négy tényező szorzata 0-val egyenlő. Ez csak úgy lehet, ha legalább egy tényező 0-val egyenlő. A négy tényező közül bármelyik lehet 0, így négy esetet kell megvizsgálnunk:

Ha x - 5 = 0, akkor x = 5,

ha x + 2 = 0, akkor x = -2,

ha 2x-1=0, akkor ,

ha , akkor .

A négy tényező mindegyike az ismeretlen egy-egy értékénél lehetett 0, így az egyenletnek négy gyöke van. Megkülönböztetésükre indexet használunk:

Az egyenlet gyökei: , , , .

Ha az egyenletet logikai függvénynek tekintjük, akkor igazsághalmaza:

.

Feladat: szorzattá alakítás

7. példa: Oldjuk meg az x ²(x + 3) = 4(x - 1)(x + 3) egyenletet!

Megoldás: szorzattá alakítás

Az egyenlet mindkét oldalán egy-egy tag áll, és mindkét tag egyik tényezője x + 3.

Ezért ajánlatos az egyenletet úgy rendeznünk, hogy minden tag az egyenlet egyik oldalán legyen. Az ilyen rendezésre szokásos kifejezés: az egyenletet nullára redukáljuk.

x ²(x + 3) - 4(x- 1)(x + 3) = 0.

Az x + 3 tényező kiemelésével a bal oldalt szorzattá alakítjuk:

(x + 3)(x ^2- 4x + 4) = 0.

A másik tényező teljes négyzet. Ezért

(x + 3)(x- 2)(x- 2) = 0.

Az előző példánál látott gondolatmenet szerint a három elsőfokú tényező miatt ennek az egyenletnek három gyöke van. Ezek:

x ₁ = -3, x ₂ = 2, x ₃ = 2.