Feladat: szorzat vizsgálata
6. példa: Oldjuk meg az (x - 5)(x + 2)(2x - 1)(3x - 5) = 0 egyenletet!
Megoldás: szorzat vizsgálata
Itt négy tényező szorzata 0-val egyenlő. Ez csak úgy lehet, ha legalább egy tényező 0-val egyenlő. A négy tényező közül bármelyik lehet 0, így négy esetet kell megvizsgálnunk:
Ha x - 5 = 0, akkor x = 5,
ha x + 2 = 0, akkor x = -2,
ha 2x-1=0, akkor
,
ha
, akkor
.
A négy tényező mindegyike az ismeretlen egy-egy értékénél lehetett 0, így az egyenletnek négy gyöke van. Megkülönböztetésükre indexet használunk:
Az egyenlet gyökei:
,
,
,
.
Ha az egyenletet logikai függvénynek tekintjük, akkor igazsághalmaza:
.
Feladat: szorzattá alakítás
7. példa: Oldjuk meg az x 2(x + 3) = 4(x - 1)(x + 3) egyenletet!
Megoldás: szorzattá alakítás
Az egyenlet mindkét oldalán egy-egy tag áll, és mindkét tag egyik tényezője x + 3.
Ezért ajánlatos az egyenletet úgy rendeznünk, hogy minden tag az egyenlet egyik oldalán legyen. Az ilyen rendezésre szokásos kifejezés: az egyenletet nullára redukáljuk.
x 2(x + 3) - 4(x- 1)(x + 3) = 0.
Az x + 3 tényező kiemelésével a bal oldalt szorzattá alakítjuk:
(x + 3)(x 2- 4x + 4) = 0.
A másik tényező teljes négyzet. Ezért
(x + 3)(x- 2)(x- 2) = 0.
Az előző példánál látott gondolatmenet szerint a három elsőfokú tényező miatt ennek az egyenletnek három gyöke van. Ezek:
x 1 = -3, x 2 = 2, x 3 = 2.