Középponti szög, körcikk és körív fogalma

A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara (illetve azok félegyenese). Az ábrán látjuk, hogy két sugár két középponti szöget határoz meg.

Mindkét középponti szög szárai között egy-egy körív van. Azt mondjuk: „az szöghöz az körív tartozik”, vagy „az köríven a szög nyugszik”.

A két sugár félegyenesével és a közte lévő körívvel határolt körlaprészt körcikknek nevezzük.

Középponti szögek és körcikkek viszonya

Az egybevágósági transzformációból következik az is, hogy az α ₁ és az α ₂ középpontú körcikkek egyenlő területűek.

Középponti szögek és körívek viszonya

Tekintsük az α ₁ és a vele egyenlő nagyságú α ₂ középponti szöget az ábrán látható körben (α ₁ = α ₂).

A hozzájuk tartozó i ₁, illetve i ₂ körívek egyenlő hosszúak, mert az O középpontú, szögű elforgatással - azaz egybevágósági transzformációval - az α ₁ szög α ₂-be, az i ₁ körív i ₂-be vihető át.

Középponti szög, körív, körcikk- tételbizonyítás

Tekintsük az ábrán az α és a β = 2α középponti szögeket. Az ezekhez tartozó körívek nem egyenlő hosszúságúak, a körcikkek nem egyenlő területűek.

Felezzük meg a β szöget. A szögfelező és a kör metszéspontja legyen F. Az előző meggondolás alapján a B ₁ F, az FB ₂, valamint az A ₁ A ₂ körívek egyenlő hosszúságúak. Ezért az előzőekből már következik, hogy a β szöghöz tartozó körív hossza kétszerese az α szöghöz tartozó körív hosszának, és a β szöghöz tartozó körcikk területe kétszerese az α szöghöz tartozó körcikk területének.

Ezzel a gondolatmenettel tovább dolgozhatunk, így eljutunk két fontos tételhez.

Bebizonyíthatjuk, hogy ha az α és a β középponti szögek aránya valamilyen racionális szám, akkor a hozzájuk tartozó körívhosszak aránya is ugyanaz a racionális szám, valamint a megfelelő körcikkek területének az aránya is ugyanaz.

Ha az α és a β középponti szögek aránya nem racionális, hanem irracionális szám, akkor is bebizonyítható, hogy a középponti szögek aránya megegyezik a hozzájuk tartozó körívhosszak arányával, illetve a hozzájuk tartozó körcikkek területének az arányával.