Feladat: háromismeretlenes egyenletrendszer

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

Megoldás: háromismeretlenes egyenletrendszer

Az egyenletrendszer alaphalmaza a valós számokból képezhető számhármasok. A többismeretlenes egyenletrendszereknél „biztos megoldási módszernek” a behelyettesítési módszer látszik. Valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, és azt behelyettesítjük az összes többi egyenletbe. Ekkor eggyel kevesebb ismeretlenünk lesz, és eggyel kevesebb egyenletből álló egyenletrendszerünk.

Most az első egyenletből fejezzük ki az y-t:

y = 8 - 3x - 6z.

Ezt behelyettesítjük a második és harmadik egyenletbe:

Ezt a kétismeretlenes egyenletrendszert így rendezzük:

Egyenlő együtthatók módszerével könnyű lesz megoldanunk az egyenletrendszert. A második egyenletet szorozzuk -2-vel:

Ezek összege

11z = -11,

z = -1.

A kétismeretlenes egyenletrendszer első egyenletébe a z = -1-et helyettesítjük, ebből kiszámíthatjuk az x-et:

- 4x + 7 = -5,

x = 3.

Az első egyenletből kifejeztük az y-t, ezért

y = 8 - 9 + 6 = 5.

Az egyenletrendszer megoldása:

x = 3, y = 5, z = -1.

Amint látjuk, hosszú munkával, de megkaptuk az egyenletrendszer megoldását. Adódhat azonban olyan egyenletrendszer is, amelynél az együtthatók olyanok, hogy egyszerűbben is megkaphatjuk a megoldást. Előzetes szabályt, utasítást az ilyen esetekre nem lehet megfogalmaznunk. A körültekintő megfigyelés és a gondolkodás az, amely segíthet.

Látjuk, hogy az (5) egyenletrendszer röviden, majdnem fejben is megoldható. Előbb azonban észre kell vennünk az együtthatókban rejlő „lehetőségeket”. Ehhez sok feladat megoldásával szerezhetünk gyakorlatot.