A mérlegelv bevezetése

Tudjuk, hogy egyenletrendezéskor,

ha az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk (vagy mindkét oldalából levonjuk) ugyanazt a számot;

ha az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk (vagy osztjuk) ugyanazzal a 0-tól különböző számmal,

akkor a kapott új alakú egyenletet ugyanazok a számok elégítik ki, mint az eredeti egyenletet. Ezek az úgynevezett mérlegelvnek a követelményei, ezt már korábban megismertük.

Ha az ilyen átalakítások közben nem változtatjuk meg az egyenlet alaphalmazát, akkor az új egyenletnek ugyanazok a számok a megoldásai, mint az eredeti egyenletnek.

Feladat: mérlegelv alkalmazása

8. példa: Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

Ebben az egyenletben egy ismeretlen van, és az egyenlet mindkét oldalán az ismeretlen elsőfokú kifejezése áll. Ezért ez elsőfokú egyismeretlenes egyenlet.

Ennél az egyenletnél (és sok más hasonlónál) a megoldás célszerű lépései az alábbiak:

ahol lehet, felbontjuk a zárójeleket, elvégezzük a kijelölt műveleteket;

azért, hogy a törtek helyett egész kifejezésekkel tudjunk dolgozni, az egyenletet megszorozzuk a nevezők legkisebb közös többszörösével;

az ismeretlent tartalmazó tagokat az egyenlet egyik oldalára, az ismert számokat az egyenlet másik oldalára gyűjtjük;

összevonunk, kifejezzük az ismeretlent.

Egyenletrendezés közben mindig törekedjünk arra, hogy összevonásokkal, egyszerűsítésekkel rövidítsük a megoldás menetét.

Ekvivalencia

Egyenletrendezés közben új egyenletekhez jutottunk. Ezek közül bármelyiket is tekintjük, annak a gyöke a többi egyenletnek is gyöke. Az ilyen átalakításokat ekvivalens átalakításoknak nevezzük.

Az ekvivalens átalakításokkal kapott egyenleteket ekvivalens egyenleteknek mondjuk. (Ekvivalens = egyenlő értékű, egyenértékű, azonos.)

Azok az átalakítások az ekvivalens átalakítások, amelyek során az eredeti egyenletnek egyetlen gyökét sem veszítjük el, és nem kapunk olyan megoldást, amely nem gyöke az eredeti egyenletnek.