Háromszögek egybevágóságának alapesetei

Bebizonyítható, hogy két háromszög közül az egyik a másikba távolságtartó transzformációval átvihető, azaz a két háromszög egybevágó, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül:

a) oldalaik hossza páronként egyenlő;

b) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által bezárt szögek egyenlők;

c) egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két szögük páronként egyenlő;

d) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbal szemközti szögek egyenlők.

Ha ezek közül egy feltétel teljesül, akkor a háromszög minden megfelelő adata egyenlő, tehát a többi feltétel is teljesül.

Két oldal- kisebbikkel szemközti szög

Az előző felsorolás az ún. négy alapeset. Ezekben a háromszögeknek csak oldalai vagy szögei szerepelnek. Ha a meghatározó adatok között a háromszög szögfelezője, magassága stb. is szerepel, akkor sokféle módon megadhatunk három olyan megfelelő adatot, amelyből kimutathatjuk a háromszögek egybevágóságát.

Az ábrán látható ABC és ABC’ háromszögek két-két oldalának hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a rövidebbel szemközti szögek egyenlők. A két háromszög azonban nem egybevágó.

A négyzet és rombusz kapcsolata

Állításunkat háromszögek egybevágóságára történő visszavezetéssel bizonyíthatjuk.

Nagyon fontos, hogy sokszögek egybevágóságának a feltétele a megfelelő oldalak hossza és a megfelelő szögek egyenlősége. Az ábrán lévő rombusz és négyzet oldalai egyenlőek, de a két négyszög nem egybevágó, mert megfelelő szögeik nem egyenlőek.

Az ábrán látható négyzet és téglalap szögei egyenlőek, de nem egybevágóak, mert a megfelelő oldalaik nem egyenlőek.

Sokszögek egybevágóságának alapesetei

Két sokszög biztosan egybevágó, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül:

a) megfelelő oldalaik hossza és megfelelő átlóik hossza egyenlő;

b) megfelelő oldalaik hossza és megfelelő szögeik páronként egyenlők.