Az egyenletek megoldásáról

Az előző években már foglalkoztunk egyenletekkel. Ismerős jellegű az alábbi kérdés:

1. példa: Mi lehet az a szám, amelynél 4-gyel nagyobb szám egyenlő a szám háromszorosánál 1-gyel kisebb számmal?

Tudjuk, hogy ennek a számnak a keresése az alábbi egyenlethez vezet (x-szel jelöljük a keresett számot):

x + 4 = 3x - 1. (1)

Ebben az egyenletben x jelenti a keresett számot. Feltételezzük, hogy ilyen létezik. Mivel arról nem tettünk említést, hogy az elmondott feltételek mellett pozitív vagy negatív, egész vagy törtszámot keresünk, ezért magunkban természetesnek érezzük, hogy a feltételeknek megfelelő valós számot keresünk.

Könnyen rájövünk, hogy a feltételeknek egyedül az felel meg.

Ez a keresett szám. Ezt a számot az egyenlet megoldásának vagy az egyenlet gyökének is nevezzük.

Az egyenlet megoldásainak vagy gyökeinek a halmazáról is szoktunk beszélni. Ezt az egyenlet megoldáshalmazának nevezzük.

Most ne törődjünk azzal, hogy az egyenletnek már ismerjük a megoldását. Vizsgáljuk azt, hogy az (1) egyenletnek milyen értelmet, milyen jelentést tulajdoníthatunk, lényegét hogyan fogalmazhatjuk meg.

A) Az x valamilyen számot jelent, egyelőre bármely valós számra gondolhatunk. A bal oldalon álló x + 4 kifejezés az x függvénye. Hasonlóan a jobb oldal is x függvénye. Így az egyenlet két oldalát külön-külön függvénynek tekinthetjük.

A bal oldal függvénye: f: R → R, f(x) = x + 4,

a jobb oldal függvénye: g : R → R, g(x) = 3x - 1.

Az egyenlet megoldása minden olyan x valós szám, amelynél az f és a g függvény egyenlő értéket vesz fel (azaz amelyeknél az f és a g függvények helyettesítési értékei egyenlőek). Természetes, hogy minden ilyen x érték csak az f, illetve a g függvény értelmezési tartományának a közös részében lehet.

A két értelmezési tartománynak a közös részét az egyenlet alaphalmazának, vagy az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük.

Az x + 4 = 3x - 1 egyenlet alaphalmaza R ∩ R = R miatt az R.

Az egyenlet mint logikai függvény

B) Az egyenleteket más szemléletmóddal is nézhetjük. Egyelőre tegyük félre az egyenleteket, és először elemezzünk egy egyszerű kijelentő mondatot.

„Négynek a háromszorosa tizenkettő.” Ez egy kijelentő mondat. Tudjuk, hogy az állítása igaz.

„Négynek a háromszorosa tíz.” Ez is kijelentő mondat, és tudjuk, hogy nem igaz.

Mindkét kijelentő mondatról egyértelműen eldönthettük, hogy igaz vagy hamis.

Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy vagy igazak, vagy hamisak, a logikában kijelentésnek, állításnak (ítéletnek) nevezzük.

Azt mondjuk, hogy a kijelentések, állítások logikai értéke vagy igaz, vagy hamis.

„Egy valós szám háromszorosa tizenkettő”, ezt a mondatot - és a hasonló mondatokat - logikai függvénynek nevezzük. Ebben a valós szám a logikai függvény változója. A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ezt a logikai függvényeknél alaphalmaznak vagy értelmezési tartománynak nevezzük. Ennél a példánál ez a halmaz az R.

A logikai függvény értékkészlete az {igaz, hamis} kételemű halmaz.

A logikai függvényeknél szereplő hozzárendeléseket is ábrázolhatjuk halmazok közötti nyíldiagrammal, de ezt három halmaz segítségével tudjuk szemléletessé tenni: az alaphalmazzal (az értelmezési tartománnyal), az állítások halmazával és az {i, h} értékkészlethalmazzal.