Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük, azaz . Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük, azaz . Hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük, azaz . Szorzatot úgy hatványozunk, hogy tényezőnként hatványozunk, azaz . Egy törtet úgy hatványozunk, hogy a számlálót és a nevezetőt is külön-külön hatványozzuk, azaz . Ezek az azonosságok mindenütt érvényesek, ahol az egyenlőségjel két oldalán álló kifejezés együttesen értelmezve van.

Algebrai törtkifejezésről beszélünk, amikor két polinom hányadosáról van szó, a tört nevezője nem lehet nulla.

Egy halmaz elemei között értelmezett o műveletet disztributívnak nevezünk egy szorzás műveletre nézve, ha a halmaz minden a, b és c elmére . Példa 1. a valós számok szorzása disztributív az összeadásra nézve, hiszen bármely valós számra (a + b)c = ac + bc 2. a halmazokon értelmezett metszetképzés disztributív az unió műveletére nézve, hiszen

Algebrai törtet úgy tudunk egyszerűsíteni, hogy mind a számlálóját, mind a nevezőjét szorzattá alakítjuk, s a közös osztóval leosztunk. Evvel viszont gyakran megváltozik az algebrai tört értelmezési tartománya. Például: . Az eredeti algebrai törtünk sem a -1 sem az 1 helyen nem volt értelmezve, míg az egyenlőségsorozat végén álló kifejezés már csak a -1 helyen nincs értelmezve.

Polinomokat tagonként adunk össze. Az azonos nemű tagok és csakis azok összevonhatók. Például (x – 3) + (2x² + 3x – 7) = 2x² + 4x – 10.

Az egyik alapművelet. Az összeadás fordított művelete: egy a számból kivonni egy b számot annyit jelent, mint olyan x számot keresni, amelyre b + x = a teljesül. A természetes számok körében a kivonás nem végezhető el korlátlanul, de az egész számok körében mindig elvégezhető (az egész számok halmaza zárt a kivonásra nézve). A b + x = a egyenletben a neve kisebbítendő; b a kivonandó; x pedig a különbség, aminek szokásos jelölése x = a – b.

(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a – b)² = a² – 2ab + b²; (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; (a – b)³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³; aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^n-1 + a^n-2 b + a^n-3b² + … + ab^n-2 + b^n-1); a^2k+1 + b^2k+1 = (a + b)(a^2k – a^2k-1b + a^2k-2b² - … + a²b ^2k-2– ab^2k-1 + b^2k).

Az egyik alapművelet. A természetes számok összeadása tulajdonképpen az összeadandók (a tagok) egymáshoz számlálása. Az összeadás fogalma az egész, racionális, valós és komplex számok halmazára valamint a polinomok, vektorok és mátrixok körére is kiterjeszthető. Az összeadás műveletét + jellel jelöljük: a + b = c. Itt a-t és b-t tagoknak (vagy összeadandóknak) c-t pedig összegnek hívjuk. Az összeadás kommutatív és asszociatív művelet.

Két polinomot úgy szorzunk össze, hogy minden tagot minden taggal megszorzunk. Például: .

A szorzás fordított művelet. A-nak b-vel való osztása egy olyan x mennyiség meghatározását jelenti, amelyre bx = a teljesül. Ezt az x mennyiséget szokták a : b-vel vagy -vel jelölni. A neve osztandó, b neve osztó, c-é pedig hányados. Az osztó nem lehet 0, hiszen 0x = a egyenletnek vagy nincs megoldása (ha a 0), vagy pedig minden szám megoldása (ha a = 0). A racionális, valós és komplex számok körében az osztás korlátlanul elvégezhető, amit úgy mondunk, hogy ezek a halmazok zártak az osztásra nézve.

Az egyik alapművelet. A természetes számok szorzása tulajdonképpen ismételt összeadás (például: 5-ször három olyan öttagú összeg, amelynek minden tagja 3.) A szorzás jele Magyarországon általában pont (néha, és a világ más részein × is lehet). Az kifejezésben a-t és b-t tényezőknek (vagy faktoroknak), c-t pedig szorzatnak nevezzük. A szorzás értelmezhető az egész, a racionális, a valós és a komplex számok, valamint például a polinomok, vektorok, stb. halmazára is. A valós számok halmazán végzett szorzás asszociatív, kommutatív és az összeadásra nézve disztributív művelet.

Algebrai kifejezéseknek nevezzük az olyan kifejezéseket, amelyekben csak betűknek és számoknak véges sokszor vett összege, különbsége, szorzata, hányadosa, egész kitevőjű hatványa és gyöke szerepel. Egyváltozós kifejezésről beszélünk, ha abban csak egy betű szerepel. A több különböző betűt tartalmazó kifejezést többváltozósnak nevezzük. Egyváltozós algebrai kifejezés például: , többváltozós algebrai kifejezés: 2a + 3b + 4c + 1. Nem algebrai kifejezések például: |2x – 1| vagy .

A polinomnak vagy többtagú algebrai kifejezésnek nevezzük azt a kifejezést, amelyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak összegei, szorzatai szerepelnek. Például: f(a, b, c)= 5a²b³ - 4b³c + 12ab²c⁴.

A teljes négyzetté való átalakítás egy másodfokú racionális egész függvényt megadó kifejezés azonos átalakítása úgy, hogy az a változó valamilyen elsőfokú kifejezése négyzetének és egy állandónak az összege legyen. A teljes négyzetté alakítás lépései: kiemeljük az x2-es tag együtthatóját; x-hez hozzáadjuk az x-es tag együtthatójának a felét és az így kapott kifejezést négyzetre emeljük, majd levonjuk az így kapott kifejezésből a zárójelben lévő szám négyzetét. Például: 2x² + 4x + 8 = 2[x² + 2x + 4] = 2[(x + 1)² – 1 + 4] = 2(x + 1)² + 6.

Egy a szám osztóinak számát úgy határozzuk meg, hogy a számot prímtényezők szorzatára bontjuk, s a hatványkitevőket 1-el növeljük, és az így kapott számokat összeszorozzuk. A szorzat adja az eredeti szám osztóinak számát. Például , így 120 osztóinak száma: . Egy szám osztóinak száma pontosan akkor páratlan szám, ha a szám négyzetszám.

Kéttagú összegek (binomok) nemnegatív egész kitevőjű hatványát, az úgynevezett binomiális tétel segítségével tudjuk kiszámolni: , ahol . Például: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

A gyök együtthatójának gyök alá történő bevitele. Például : .

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük, azaz . Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük, azaz . Hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük, azaz . Szorzatot úgy hatványozunk, hogy tényezőnként hatványozunk, azaz . Egy törtet úgy hatványozunk, hogy a számlálót és a nevezetőt is külön-külön hatványozzuk, azaz . Ezek az azonosságok mindenütt érvényesek, ahol az egyenlőségjel két oldalán álló kifejezés együttesen értelmezve van.

Szorzat négyzetgyöke egyenlő a szorzótényezők négyzetgyökének szorzatával, azaz:

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük: (Persze ez, csak akkor teljesül, ha mindkét oldalnak van értelme, azaz, ha

A gyökjel alatt álló kifejezést úgy bontjuk szorzattá, hogy az egyik tényezőből a gyökvonás elvégezhető legyen. Például: ;

Szorzat négyzetgyöke egyenlő a szorzótényezők négyzetgyökének szorzatával, azaz: . Hányados négyzetgyöke egyenlő a számláló és nevező négyzetgyökének hányadosával, azaz: (b 0).