Valós szám fogalma

A végtelen tizedestörtekkel megadható számokat valós számoknak nevezzük.

Valós számok bevezetése, számhalmazok jelölése

A racionális számokról megállapítottuk, hogy periodikus tizedestörtek (ebben benne vannak az egész számok is, mert például 5=5,0 ). Bevezettük az irracionális számokat, azok nem periodikus végtelen tizedestörtek.

Ha végtelen tizedestörtekről beszélünk, akkor azok vagy periodikusak (szakaszosak), vagy nem periodikusak, azaz vagy racionális számok, vagy nem racionális számok. Ez azt indokolja, hogy a végtelen tizedestörteknek önálló nevet adjunk: valós számoknak nevezzük ezeket. (Valós számok a racionális számok is, az irracionális számok is.)

A számfogalom bővítése során a sorrendünk ez volt: természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok. Ezeket Venn-diagrammal szemléltethetjük.

Azért, hogy a különböző számhalmazokról könnyen tudjunk beszélni, és azokat könnyen tudjuk leírni, mindegyiket egy-egy betűvel jelöljük.

A természetes számok halmazának a jele: N.

Az egész számok halmazának a jele: Z.

A racionális számok halmazának a jele: Q.

A valós számok halmazának a jele: R.

A halmazok jelölésére nagybetűket használunk. A számhalmazok jelölését a következő szavakhoz köthetjük:

a natura (latin) szó jelentése természet,

a Zahlen (német) szó jelentése számok,

a quotient (angol) szó jelentése hányados és

a real (angol) szó jelentése valós.

Az N, Z, Q, R jelölések nemzetköziek.

A valós számhalmaz bővíthető

Azok a számok, amelyekkel eddig találkoztunk, mind valós számok voltak, ezért ha számokról beszélünk, az nekünk valós számot jelent. A számfogalom bővítésének előző gondolatmenete alapján felvetődik a kérdés: lehetséges-e a számfogalom további bővítése?

A további bővítés lehetőségével most nem foglalkozunk, de a válasz: igen. Bevezethetünk nem valós számokat is, azokkal is értelmezhetünk műveleteket. Így a valós számokat nem nevezhetjük röviden számoknak. A következőkben is hangsúlyozni fogjuk, hogy valós számokkal dolgozunk, és a mostani ismereteink is ezekre vonatkoznak.

A számegyenes és a valós számok

A valós számok bevezetése után azt mondhatjuk:

A számegyenesen bármely valós számnak megfelel egy pont.

A számegyenes bármely pontjának megfelel egy valós szám.