Háromszög-egyenlőtlenség

Nem lehet akármilyen hosszúságú három pálcából háromszöget összerakni. Ez mutatja, hogy a háromszög három oldalhossza között valamilyen összefüggés van.

Vegyünk fel három olyan pontot, amelyek nem illeszkednek egy egyenesre. Ezek meghatároznak egy ABC háromszöget. A d(A, B) a háromszög egyik oldalának a hosszúságát jelenti, jelöljük ezt c-vel. A háromszög AB oldalát röviden c oldalnak is nevezzük. Hasonlóan d(B, C) = a és d(A, C) = b.

A távolságfogalom tulajdonságából következik a háromszög három oldalára vonatkozó összefüggés:

a + c > b, b + a > c, c + b > a.

A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalánál.

Az a + c > b, valamint b + a > c egyenlőtlenségeket írhatjuk a > b - c, illetve a > c- b alakban is. A b - c és a c - b valamelyike nemnegatív, ezért

a > |b - c|.

Ilyen gondolatmenettel kapjuk a következő egyenlőtlenségeket:

b > |a - c|, c > |a - b|.

A háromszög bármely oldala nagyobb, mint a másik két oldal különbségének abszolútértéke.