A háromszög magasságvonalának fogalma

A háromszög magasságvonalának a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük. Ennek azt a szakaszát, amely a háromszög egyik csúcsa és a szemközti oldal egyenese között van, a háromszög egyik magasságának nevezzük.

A magasságvonalakra vonatkozó tétel

A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást.

A magasságvonalakra vonatkozó tétel bizonyítása

A magasságvonal, a magasság és annak hossza között fogalmi különbség van. Ezt azonban nem hangsúlyozzuk mindig. Azt, hogy egy feladatban vagy egy állításban melyikről van szó, rendszerint egyértelműen meghatározza a mondat értelme. Ezért gyakran csak „magasságról” beszélünk.

Az ABC háromszög mindhárom oldalával húzzunk egy-egy olyan párhuzamost, amely a szemközti csúcsra illeszkedik. Ezek metszéspontjaival az A’B’C’ háromszöget kapjuk.

A párhuzamosok húzása közben több paralelogramma keletkezett. Például paralelogramma az ABA’C és az ABCB’ négyszög is. Emiatt az AB szakasszal egyenlő hosszúságú az A’C is, a B’C is, tehát az A’B’ szakasznak C a felezőpontja.

Az elmondottak miatt az ABC háromszög magasságvonalai az A’B’C’ háromszög oldalfelező merőlegesei. Az oldalfelező merőlegesek pedig egy pontban metszik egymást, ezért az ABC háromszög magasságvonalai is egy pontban metszik egymást.

A három magasságvonal közös pontját a háromszög magasságpontjának nevezzük. Azt a pontot, ahol az egyik csúcsból húzott magasság a szemközti oldal egyenesét metszi, a magasság talppontjának nevezzük.

A magasságpont hegyesszögű háromszögnél belül, tompaszögű háromszögnél kívül, derékszögű háromszögnél pedig a derékszög csúcsában van.