Fix pontok

Egy geometriai transzformációnál a hozzárendelési szabályának a megadása az első.

Ha már ismerjük egy geometriai transzformáció hozzárendelési szabályát, akkor utána a transzformáció lényeges tulajdonságait keressük.

Fontos kérdés volt az eddigi geometriai transzformációknál is, hogy vannak-e olyan pontok, amelyek képei azonosak az eredeti pontokkal. Több transzformációnál találunk ilyen pontokat. Hogy ezekről könnyebben tudjunk beszélni, bevezetjük a fixpontok fogalmát.

Egy geometriai transzformációnál az olyan pontot, amelynek a képe önmaga, fixpontnak nevezzük.

A középpontos tükrözésnél fixpont a középpont; a tengelyes tükrözésnél fixpont a tengely minden pontja, az identitásnál fixpont az értelmezési tartomány minden pontja. Ezekből a példákból azonban nem következik az, hogy minden geometriai transzformációnak van fixpontja. Az eltolásnak például nincs fixpontja.

Invariáns alakzatok, fix alakzatok

Tudjuk, hogy tengelyes tükrözésnél a tengelyre merőleges bármely e egyenes képe önmaga, és a t tengely képe is önmaga: e = e’, t = t’. Az alakzatokon kívül figyeljük meg a pontjaikat is. Az e egyenesnek egyetlen olyan pontja van, amely fixpont, ez az M pont. Ennél M = M’. A t egyenes minden pontja fixpont.

Most egy geometriai transzformációnál olyan alakzatot keresünk, amelynek a képe önmaga. Az előző példa azt mutatja, hogy az ilyen alakzatok között ajánlatos különbséget tennünk.

Ha az alakzat képe önmaga, akkor invariáns alakzatnak nevezzük.

Ha az invariáns alakzat pontjait is figyeljük, és minden pontja fixpont, akkor fixalakzatnak nevezzük. (Természetes, hogy minden fixalakzat invariáns alakzat is.)