Geometriai transzformáció fogalma, néhány tulajdonsága

Az előző években már találkoztunk geometriai transzformációkkal (transzformáció = átalakítás, átalakulás). Ezek egybevágósági transzformációk voltak (tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, eltolás), majd a középpontos hasonlósággal ismerkedtünk meg.

Az egybevágósági transzformációk tárgyalását a tapasztalatainkra építettük. Megállapítottuk, hogy bármely szakasz képe ugyanolyan hosszú szakasz lesz. Ezért távolságtartó transzformációnakis nevezhetjük az egybevágósági transzformációkat.

Másfajta geometriai transzformációk is vannak. Az eddigi transzformációkból a megszokottságuk és egyszerűségük miatt nehezen állapíthatjuk meg, hogy a geometriai transzformációk tárgyalásánál melyek a lényeges kérdések, és milyen tulajdonságokra kell fokozottan ügyelnünk.

A következőkben bemutatunk néhány - eddig nem említett - geometriai transzformációt. Egy-egy transzformáció megadásánál az első lépés az, hogy megadjuk azt a hozzárendelést, amellyel egy ponthalmazpontjaihozpontokat rendelünk. (Ezt tettük a tengelyes tükrözésnél, valamint minden más geometriai transzformációnál is.)

A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyeknek értelmezési tartományuk, értékkészletük is ponthalmaz.

Megállapodunk abban, hogy kizárólag kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésekkel megadott geometriai transzformációkkal foglalkozunk. Emellett még abban is megállapodunk, hogy a geometriai transzformáció értelmezési tartománya és értékkészlete ugyanaz a halmaz legyen. A síkpontjaihoz a síkpontjait rendeljük, vagy a térpontjaihoz a térpontjait rendeljük. (A megállapodás miatt a leírást rövidítjük. Általában nem írjuk ki az S → S; vagy tér → tér jelölést.)

Mivel a geometriai transzformációk is függvények, a függvényeknél látott jelöléshez hasonlót is használunk. Egy-egy geometriai transzformációt az f, g, h ... betűkkel jelölünk. Ha az fgeometriai transzformáció a Pponthoz a P’ pontot rendeli, akkor azt a P’ = f(P) módon is jelöljük.