Adott a síkon két pont A és B.
Keressünk olyan pontokat a síkon, amelyek A-tól és B-től egyenlő távolságra vannak.
Az AB szakasz felezési pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től.
További pontokat úgy kaphatunk, hogy olyan egyenlőszárú háromszögeket szerkesztünk, amelynek az alapja az AB. Ezek a pontok egy egyenesen helyezkednek el. Az egyenes merőleges az AB szakaszra, és felezi azt.

Egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban a szakasz felezőmerőleges.

Szerkesszünk a síkon olyan pontokat, amelyek a sík két metsző egyenesétől egyenlő távolságra vannak.
Megoldás: A metsző egyenesek négy szögtartományra bontják a síkot. A négy keletkezett szög közül kettő-kettő egyenlő (csúcsszögek). A csúcsszögek szögfelező egyenesének minden pontja egyenlő távolságra van a metsző egyenesektől.

A metsző egyenesek négy szögtartományra bontják a síkot. A csúcsszögek szögfelezői egy-egy egyenesre illeszkednek. Ezeknek az egyeneseknek minden pontja egyenlő távolságra van a metsző egyenesektől.

Szerkesszünk a síkon olyan pontokat, amelyek két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra vannak.
Megoldás:
Ilyen pontokat szerkeszthetünk, ha a két párhuzamos egyenesre merőlegeseket szerkesztünk, és a két párhuzamos közötti szakasz felezési pontját megadjuk.
Ezek a pontok egy egyenesen helyezkednek el.

A sík két párhuzamos egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok egy egyenesen helyezkednek el. Ezt az egyenest középpárhuzamosnak nevezzük. Ha a két pont távolsága d, akkor a középpárhuzamos az adott egyenesektől távolságra van.