Kúpszerű test fogalma, jellemzői

Definíció: Kúpszerű testeknek azokat a testeket nevezzük, amelyeket úgy kaphatunk, hogy egy síkidom kerületén körülvezetünk egy egyenest, amely állandóan illeszkedik egy adott pontra, a síkidom síkján kívüli csúcspontra.
A síkidomot a kúpszerű test alaplapjának nevezzük. A csúcsnak az alapsíktól való távolsága a test magassága.
A csúcsot és az alaplap határvonalának egyik pontját összekötő szakasz a kúpszerű test egyik alkotója.

Azokat a kúpszerű testeket, amelyek alaplapja sokszög, gúláknak nevezzük, amelyeknek az alaplapja kör, kúpoknak. (Más alaplapú kúpszerű testnek külön nevet nem adunk.)
A forgáskúp minden alkotója egyenlő hosszúságú. Az ilyen kúpot egyeneskúpnak is mondjuk. Azt a kúpot, amelynek nem minden alkotója azonos hosszúságú, ferdekúpnak nevezzük.
A gúla csúcsát és a gúla alaplapjának egyik csúcspontját összekötő szakasz a gúla egyik oldaléle.
Ha egy gúla alaplapja szabályos sokszög és minden oldaléle egyenlő hosszúságú, akkor azt szabályos gúlának nevezzük. Beszélhetünk szabályos három-, szabályos négy-, …, szabályos n oldalú gúláról.
Bizonyítható, hogy ha egy gúla minden oldaléle egyenlő, akkor a gúla alaplapja körbe írható sokszög, és a kör középpontja a gúla csúcspontjának az alapsíkon lévő merőleges vetülete.

Kúpszerű test felszíne és térfogata

A Cavalieri-elv segítségével belátható, hogy bármely T alapterületű és m magasságú kúpszerű test térfogata a

összefüggéssel számítható ki.

Ha a test kúp, akkor alaplapja kör. Bármely kúpszerű test palástja a síkba kiteríthető. (ezt bizonyítás nélkül kimondjuk), ezért a kúpszerű testek felszíne:

.

A palást területének kiszámításához vegyük észre, hogy a gúlák palástja háromszögekből áll. A palást területének meghatározása a háromszögek területének kiszámítását jelenti.A szabályos gúlák palástjának minden háromszöge egybevágó. Ezért a palást területének meghatározásánál elég, ha egy háromszög területét határozzuk meg, és azt szorozzuk az oldalak számával. Van azonban olyan n oldalú gúla, amelynél a palást n darab háromszöge mind különböző.A forgáskúp (egyenes kúp) palástja kiterítve egy körcikk, tehát

,

ahol k az alapkör kerülete, a az alkotó hossza.Ha a kúp nem forgáskúp, akkor a kiterített palást számunkra ismeretlen síkidom.