Cavalieri-elv a térfogatszámításban

A Cavalieri-elvet jól használhatjuk azoknak a testeknek a térfogatszámításainál, amelyekkel találkozunk:

Ha egy síkon két olyan test van, amelyek

a) alapterülete egyenlő és

b) az alaplapjukkal párhuzamos bármely síkkal képezett síkmetszetük páronként egyenlő területű,

akkor a két test térfogata egyenlő.

Hengerszerű testek térfogata

A Cavalieri-elvből következik, hogy bármely T alapterületű és m magasságú hengerszerű test térfogata: V = Tm. Ugyanis képezhetünk olyan egyenes hasábot, amelynek T az alapterülete és m a magassága (79. ábra). E két testnek az alaplappal párhuzamos bármely síkmetszete egyenlő területű. Ezek térfogata a Cavalieri-elv következtében egyenlő: V = Tm.

Ezzel beláttuk, hogy bármely hengerszerű test térfogatát megadja az alapterületének és a magasságának a szorzata.

Néhány szó Cavalieriről

A XVI.- XVII. században a természettudományi ismeretek gyorsan bővültek. A felmerült új problémák megoldásához új fogalmakat és új módszereket kellett kialakítani. Ehhez hosszú időre volt szükség. Az új problémák megoldásához csak később találták meg a megfelelő új fogalmakat. Így adódott, hogy a XVII. században általánosan is igaznak tekintettek egy olyan módszert, amelyet a gyakran előforduló testek térfogatszámításainál jónak találtak. Ezt Cavalieri- elvnek (olv: Kavaliéri) nevezzük.
Cavalieri (1598-1647) Galilei tanítványa volt, 1629- től a bolognai egyetem matematika tanára lett. Abban az időben fontossá váltak a mozgás, a folyamatosság, a végtelen kérdései. A végtelen filozófiai és teológiai fogalmai a matematikában is éreztették hatásukat. Az „oszthatatlanról” a korábbi századokban kialakult elképzelésre építve Cavalieri a síkidomokat párhuzamos húrokból, a testeket párhuzamos síkmetszetekből állóknak képzelte. Ennek alapján fogalmazta meg elvét, amelynek segítségével több olyan test térfogatát kiszámította, amelyet korábban nem tudtak meghatározni.
Ha a Cavalieri-elvet a középiskolai ismereteken és a középiskolai követelményeken túlmenő igényességgel néznénk, akkor azt hiányosnak és pontatlannak tartanánk.