Feladat: fagyizik az osztály

Egy kis cukrászdában 5-féle fagylaltból lehet választani. Az osztály tanulói közül néhányan két-két gombócos fagylaltot vettek. Mindenki ragaszkodott hozzá, hogy olyan kettőt vegyen, amilyet eddig még egyikük sem, és mindenki különböző ízűeket választott.

a) Hányan fagylaltozhattak maximálisan az osztályból?

b) Hányan fagylaltozhattak maximálisan az osztályból, ha az előző feltételek mellett mindenki három-három gombóc fagylaltot vásárolt?

Megoldás: fagyizik az osztály

a) Az öt különböző fagylaltból mindenki kettőt kiválaszt. Különböző kettőt és nem számít a sorrend, hiszen mindenki csak ahhoz ragaszkodott, hogy olyan kettőt vegyen, amilyet eddig még senki. Ezért maximálisan annyi fagylaltozó diák lehetett, ahányféleképpen kiválaszthatunk 5-ből 2-t:

.

Maximálisan 10-en fagylaltozhattak az osztályból.

b) Most minden diák három gombócot választ. Mindenkinek azt kell eldönteni, hogy az ötféle fagylaltból melyik kettőt nem kéri. Így a lehetőségek száma most is öt elem közül kettő kiválasztásának számával egyezik meg:

.

Ebben az esetben is maximálisan 10-en lehettek, akik fagylaltot vásároltak.

Számításaink helyességét könnyen szemléltethetjük. Legyen a példában szereplő öt fagylalt: alma, barack, citrom, dió és eper. Ekkor a kétgombócos fagylaltok a következők lesznek (csak a kezdőbetű t írjuk):

A háromgombócos fagylaltot is felsorolhatjuk. A felsorolásban mindig a megfelelő helyen az előző esetben leírt gombócpárt mint a kimaradt gombócokat gondoljuk:

Ez az egyszerű példa a következő összefüggéshez vezet:

.

Ennek belátásához gondoljunk arra, hogy ha n elem közül kiválasztunk és megjelölünk k elemet, akkor a maradék n - k elemet azzal választjuk ki, hogy azokat nem jelöltük meg. Ezért ahány módon választhatunk ki n elem közül k elemet, annyiféle módon lehet kiválasztani (n - k)-t is.