Vektorok skaláris szorzatának tulajdonságai

A skaláris szorzat két tényezőjét felcserélhetjük:

ab = ba.

Ez következik a definícióból, mert mindkét esetben ugyanannak a három számnak kell a szorzatát vennünk. Két vektor skaláris szorzása tehát kommutatív tulajdonságú.

Az asszociatív tulajdonságnál az abc háromtényezős szorzatra gondolunk, és vizsgáljuk a tényezők (ab)c, valamint az a(bc) csoportosítását, akkor már látjuk, hogy az ab skaláris szorzat egy számot ad, tehát (ab)c szorzat a c vektor számszorosa, hasonló módon az a(bc) szorzat az a vektor számszorosa. Az a és c vektor általában nem egyállású vektor. Az a és c csak speciális esetben egyállású, és még ebben az esetben is külön feltétel lenne az, hogy a c vektor ab számszorosa egyenlő legyen az a vektor bc-szeresével. Tehát általában (ab)c ≠ a(bc).

Bebizonyítható, hogy bármely a, b, c vektorokra fennáll az

(a + b)c = ac + bc

azonosság, azaz a skaláris szorzás az összeadásra nézve disztributív. (A bizonyítástól eltekintünk.)

Skaláris szorzatokra fennáll a

λ(ab) = (λa)b = a(λb)

tulajdonság is. Skaláris szorzatot egy valós számmal úgy is szorozhatunk, hogy a számmal az egyik tényezőjét szorozzuk.

Ez az állítás λ = 0-ra nyilvánvaló.

Könnyen beláthatjuk 0<λ esetén is, mert a definíció alapján

Ha λ<0, akkor bizonyításunk történhet úgy, hogy megnézzük a λ = -1 esetet, majd a másféle negatív λ esetet visszavezetjük a alakkal a |λ|pozitív számmal történő szorzásra.

Egy vektor önmagával való skaláris szorzatát a vektor négyzetének nevezzük.

A vektor négyzeténél (ha a vektor nem 0) a két azonos vektor hajlásszöge 0°. Ezért

A szokásos |a| =a jelölés miatt

A 0 négyzete:

Összefoglalva: egy vektor négyzete egyenlő a hosszúságának a négyzetével.

A skaláris szorzat előjele

Egy nem zérusvektor abszolútértéke pozitív szám. Ezért két nem zérusvektor skaláris szorzata a cos előjelétől függ.

Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor pozitív, ha egyik sem zérusvektor, és hajlásszögük: 0° ≤ < 90°.

Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor negatív, ha egyik sem zérusvektor, és hajlásszögük: 90° < ≤ 180°.