Az egyenes irányszögének nevezzük az egyenes és az x tengely pozitív iránya által bezárt szöget. Jelölése: . Így az irányszög nagyságáról tudjuk, hogy:

A P₀ (x₀; y₀) ponton átmenő v(v₁; v₂) irányvektorú egyenes irányvektoros egyenlete: v₂x –v₁y = v₂x₀ – v₁y₀. Például: A P₀(-2; -3) pontra illeszkedő v(2; 1) irányvektorú egyenes egyenlete: 1x – 2y = 1(-2) – 2( -3). Rendezve: x – 2y = 4.

Lineáris kombinációjának nevezzük a k és l vektornak azt a vektorát, amely a következő képen számolható: m= αk+βl. Ha m=0 akkor két eset állhat fenn, első esetben αk+βl=0 csak akkor lehetséges, ha α=β=0, ebben az esetben a k és l vektorok lineárisan függetlenek. Minden más esetben a két vektor lineárisan függő.

Vektorok összegének koordinátái a megfelelő koordináták összegével egyenlők, azaz a(x₁; y₁) és b(x₂; y₂), esetén a + b(x₁ + x₂; y₁ + y₂).

Az a(x; y) vektor c-szeresének koordinátái (c R): a(cx, cy).

Legyen megadva az A(x1; y1) és B(x2; y2). A rajtuk fekvő egyenesnek egy irányvektora az = b – a (x2 – x1; y2 –y1) vektor. Mivel ismerjük az egyenes egy pontját és egy irányvektorát, már fölírhatjuk az egyenes egyenletét.

Adott az e egyenes P₀(x₀; y₀) pontja és m iránytangense. Ekkor az e egy normálvektora(m; -1). Ezt behelyettesítve a normálvektoros alakba kapjuk, hogy : mx – y = mx₀ – y₀, amiből átrendezéssel: y – y₀ = m(x – x₀). Ez az m iránytangensével és P0(x₀; y₀) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének iránytényezős alakja.

Olyan helyvektor (origóból induló vektor), amelynek végpontja egy adott szakasz felezéspontja.

|v|=√(|x|²+|y|² ) ahol x és y a vektor koordinátái.

Az AB szakasz végpontjainak helyvektorai: a(x₁; y₁), b (x₂; y₂). A szakaszt az AP : PB = m : n arányban osztó P pont helyvektora , ami azt jelenti, hogy P koordinátái x = és y = .

Két vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével.

Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének nevezzük. Jelölése: m = tg (ahol az egyenes irányszöge)

A P₀ (x₀; y₀) ponton átmenő n(A; B) normálvektorú egyenes egyenlete: Ax + By = Ax₀ + By₀. Például: A P₀(-2; 4) pontra illeszkedő n(1; 7) irányvektorú egyenes egyenlete: . Rendezve: x + 7y = 26.

Két egyenes merőleges, ha irányvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0); normálvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0); meredekségeik szorzata -1 vagy az egyiké 0 és a másiké nem értelmezhető.

A kör tengelymetszetei azok a pontok ahol a kör metszi az x és y tengelyt. A kör egyenlete a következő (x-u)²(y-v)²=r² , ahol u és v változók a kör középpontjának az origóhoz viszonyított távolságát mutatják. A kör ott metszi az y tengelyt ahol az x értéke 0. A kör ott metszi az x tengelyt ahol y értéke 0

Két vektor egymásra merőleges akkor és csakis akkor, ha skaláris szorzatuk 0.

Egy alakzat (pl. egyenes, kör, parabola, stb.) egyenletének olyan egyenletet nevezünk, amelyet az alakzat bármely pontjának koordinátái kielégítenek, és nem elégítik ki az olyan pontok koordinátái, amelyek az alakzatnak nem pontjai.

Másodfokú kétismeretlenes egyenlete a következő geometriai alakzatoknak van: ellipszisnek, parabolának és hiperbolának.

Két kör közös pontjainak koordinátáit meghatározhatjuk, ha a két kör egyenletéből alkotott kétismeretlenes két egyenletből álló egyenletrendszert megoldjuk. A közös pontok koordinátái az egyenletrendszert kielégítő valós számpárok.

Két egyenes metszéspontjának nevezzük azt a pontot, amely mindkét egyenesen rajta van. Két egyenesnek vagy nulla (a két egyenes párhuzamos, vagy kitérő), vagy egy, vagy végtelen sok közös pontja van (a két egyenes egybe esik).

Adott az e egyenes P₀(x₀; y₀) pontja és m iránytangense. Az egyenes iránytényezős egyenletének nevezzük az egyenes egyenletének y – y₀ = m(x – x₀)–os alakban történő felírását.

Adott két egyenes a síkban amik metszik egymást a P(x0,y0) pontban. Keressük azokat a pontokat amelyek rajta vannak mind a két egyenesen. Tehát a megoldás halmaz maga a P pont, hiszen ha az egyenes egyenletébe behelyettesítenénk a P pont koordinátáit , akkor mind a két egyenes kielégítené hiszen a pont az egyeneseken van.

A parabola a sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy ponttól, a fókuszponttól (vagy gyújtóponttól) és egy egyenestől, a direktrix-től (vagy vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak

Egy végtelenbe nyúló görbeív aszimptotáján olyan egyenest értünk, amelyet a görbeív tetszőleges pontossággal megközelít, ha rajta a végtelen felé haladunk, de sose nem ér el.

A parabola a sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy ponttól, a fókuszponttól (vagy gyújtóponttól) és egy egyenestől, a direktrix-től (vagy vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak. A fókuszból a parabola egy tetszőleges pontjához húzott szakaszt rádiusznak (vagy vezérsugárnak) is nevezzük. A fókuszból a dierektrix-re bocsátott merőleges egyenes a parabola tengelye, amelyet úgy irányítunk, hogy pozitív iránya a fókuszból kiindulva, a direktrixszel ellentétes irányba mutasson. A parabola átmérői azok a félegyenesek, amelyek a parabola egy pontjából kiindulva, a tengellyel párhuzamosan és azzal egy irányban haladnak. A parabola egymással párhuzamos húrjainak felezéspontjai mindig egy átmérőn fekszenek. A direktrix és a fókuszpont p távolsága a parabola paramétere. Azt a pontot, amely a fókusz és direktrix között félúton helyezkedik el, a parabola csúcspontjának hívjuk.

Egy origó tengelypontú F fókuszpontú parabola tengelyponti vagy csúcsponti egyenletének nevezzük a 2py = x² vagy egyenletet.

Elsőként felvesszük a vezéregyenest (v) és a parabola fókuszpontját (F). (Ehhez ismernünk kell a paraméterét.) Az F pontból a vezéregyenesre bocsátott merőleges a parabola szimmetriatengelye. A vezéregyenes és a tengely metszéspontjával valamint a fókuszponttal meghatározott szakasz felezőpontja a parabola egyik pontja, amelyet a parabola tengelypontjának (más néven csúcspontjának) nevezünk. A parabola további pontjainak szerkesztéséhez a vezéregyenessel párhuzamos egyeneseket veszünk fel. Legyen ez egy a egyenes. A d(a, v) távolságot körzőnyílásba vesszük és ezzel az a egyenest az F fókuszpontból elmetsszük. A kapott A és B pontok pontjai a parabolának. Újabb pontokat is hasonlóan szerkeszthetünk.

A parabola a sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy ponttól, a fókuszponttól (vagy gyújtóponttól) és egy egyenestől, a direktrix-től (vagy vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak. A direktrix és a fókuszpont p távolsága a parabola paramétere.

A hiperbola azon pontok helye a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától, a hiperbola fókuszpontjaitól (más néven gyújtópontjaitól) vett távolságkülönbsége abszolútértékben – a két pont távolságánál kisebb állandó. A két adott F₁ és F₂ fókuszpont által meghatározott szakasz felezőpontja a hiperbola középpontja. A fókuszpontok által meghatározott egyenes a hiperbola két ágából kimetszi az A és B pontokat. Az AB szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük. (Szokták még az AB egyenest is a hiperbola valós tengelyének nevezni.) A definícióból adódóan a hiperbola tengelyesen szimmetrikus az F₁F₂ egyenesre és a rá merőleges O-ra illeszkedő egyenesre is, ennél fogva középpontosan szimmetrikus O-ra nézve. Az F₁O = F₂O távolságot szokás c-vel jelölni, így F₁F₂ = c. Ha C és D jelöli az F₁F₂ felezőmerőlegesének azon pontjait, amelyekre AC = BD = AD = BD = c, akkor Pitagorász tételéből adódóan OC2 = OD2 = c2 – a2. Az OC és OD szakaszok hosszát szokták b-vel is jelölni. A 2b hosszúságú CD szakasz a hiperbola képzetes tengelye, bár képzetes tengely elnevezéssel szokták a CD egyenest is illetni.

Azon síkbeli pontok halmazát, amelyek két adott ponttól mért távolságuk összege állandó, és ez az állandó nagyobb a két pont távolságánál, ellipszisnek nevezzük. A két pontot az ellipszis fókuszontjának (vagy gyújtópontjának) hívjuk.

Azon pontok koordinátái amelyek rajta vannak a félsíkon.