vektoriális szorzat
Két, egymással
szöget bezáró a és b vektor vektoriális szorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek abszolútértéke |a||b| sin
és iránya merőleges az a és a b vektorokra úgy, hogy a vektoriális szorzat vektorával szembenézve az a vektort 180°-nál kisebb pozitív irányú forgással vihetjük át a b vektorral egyező irányba. A vektoriális szorzat jele: a × b (olvasd: „a kereszt b”). Szokás azt mondani, hogy az a, b vektorok, valamint az a × b vektoriális szorzatuk „jobbrendszert” alkotnak. A szavakkal megfogalmazott definíció meghatározza a vektoriális szorzat vektorának nagyságát: |a × b| = |a||b| sin
és irányát: az a, a b és az a × b (ebben a sorrendben) jobbrendszert alkot. A definícióból következően az a × b hossza megegyezik az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területének mérőszámával. Egy vektornak az önmagával vett vektoriális szorzata 0, azaz zérusvektor, mert ekkor a hajlásszög 0°, és sin 0°=0.
disztributív az összedásra nézve
Egy halmaz elemei között értelmezett o műveletet disztributívnak nevezünk egy szorzás műveletre nézve, ha a halmaz minden a, b és c elmére (a⋅b)oc=(a⋅b)o(a⋅c) MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadggacqGHflY1caWGIbGaaiykaiaad+gacaWGJbGaeyypa0JaaiikaiaadggacqGHflY1caWGIbGaaiykaiaad+gacaGGOaGaamyyaiabgwSixlaadogacaGGPaaaaa@4A1A@ . Példa 1. a valós számok szorzása disztributív az összeadásra nézve, hiszen bármely valós számra (a + b)c = ac + bc 2. a halmazokon értelmezett metszetképzés disztributív az unió műveletére nézve, hiszen (A∪B)∩C = (A∩B )∪(A∩C). MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeikaiaabgeacqGHQicYcaqGcbGaaeykaiabgMIihlaaboeacaqGGaGaaeypaiaabccacaqGOaGaaeyqaiabgMIihlaabkeacaqGGaGaaeykaiabgQIiilaabIcacaqGbbGaeyykICSaae4qaiaabMcacaqGUaGaaeiiaaaa@4B6B@
szükséges és elégséges feltétel
H A-ból következik B, és B-ből következik A, akkor azt mondjuk, hogy A a B-nek szükséges és elégséges feltétele. Például, annak, hogy egy háromszög derékszögű legyen szükséges és elegendő feltétele, hogy két oldala négyzetének összege megegyezzék a harmadik oldal négyzetével.
munkavégzés
két vektor hajlásszöge
Két vektor hajlásszöge az általuk bezárt szög nagysága.
paralelogramma oldalainak négyzetösszege
területvektor
Az a és b vektorok vektoriális szorzatán értjük azt a c vektort, amelynek abszolútértéke
, ahol a
a két vektor által közbezárt szög.
jobbrendszer
Az a, b és c közös kezdőpontú vektorok a felírt sorrendben jobbrendszert alkotnak, ha abból a féltérből nézve az a és b vektorok síkját, amelybe a c vektor mutat, a-t a b által meghatározott félegyenesbe pozitív, azaz az óramutató járásával ellentétes, 180°-nál kisebb forgásszög viszi át.
vektor négyzete
Egy vektor négyzete abszolútértékének négyzetével egyenlő, hiszen
térbeli koordinátarendszer
Térbeli koordinátarendszer egy tér, amelyben kijelölünk egy kezdőpontot és ebből kiinduló tengelyeket. Ebben a rendszerben egy pont helyzetét mindenesetben három koordinátája segítségével adhatjuk meg (x, y, z). A leggyakoribb térbeli koordinátarendszer a Descartes-féle koordinátarendszer, ennek tengelyei egy jobb sodrású derékszögű koordinátarendszert határoznak meg.
vektorok merőlegessége
Két vektor pontosan akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.
nem kommutatív
Egy * műveletet kommutatívnak (felcserélhetőnek) nevezünk egy adott R halmazon, ha R halmaz minden a és b elemére a * b = b * a. Példa. Az összeadás a valós számok halmazán kommutatív, hiszen például 2 + 3 = 3 + 2. Nem kommutatív művelet például a valós számok halmazán értelmezett kivonás, hiszen például (3 – 4) – 5 = -6, de 3 – (4 – 5) = 4.
skaláris szorzat
Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolútértékének és hajlásszögük cosinusának szorzatát értjük.
kétszeres szögek szögfüggvényei
A kétszeres szögek szögfüggvényei a következőek sin(2α)=2*sin(α)*cos(α), cos(2α)=cos2(α)-sin2(α), tg(2α)=(2tg(α))/(1-tg2(α)).
erők eredője és hajlásszöge
Ha több erő hat egy testre, akkor helyettesíthető egy eredő erővel. Az eredő erő hajlásszögét szögfügevények segítségével tudjuk kiszámolni.
bizonyítás a tételek alapján
trigonemetrikus egyenletrendszerek
Trigonometrikus egyenleteknek nevezzük az olyan egyenleteket ahol a változó valamely szögfüggvény változója. Trigonometrikus egyenletrendszernek nevezzük azt az egyenletrendszert amelyben trigonometrikus egyenletek vannak.
szinusztétel
Bármely háromszögben két tetszőleges oldal aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszának arányával, azaz a : b : c = sin
: sin
: sin
.
speciális eset: derékszögű háromszögben
A derékszögű háromszög egy speciális háromszög melynek az egyik belső szöge 90 fok vagyis derékszög.
értékkészlet szerepe egyenletek megoldásában
Egyenletek megoldásában nagy szerep van az egyenlet két oldalán álló függvény értékkészlete vizsgálatának, hiszen a két értékkészlet metszete adja az egyenlet megoldásainak alaphalmazát, ami azt jelenti, hogy a megoldhatóság szükséges feltétele, hogy ez a halmaz ne kegyen üres. Például
a egyenlet megoldása előtt az értékkészlet vizsgálatakor azt tapasztaljuk, hogy az egyenlet bal oldal csak pozitív, míg jobb oldala csak nem pozitív értékeket vehet föl, tehát az egyenletnek nincs megoldása.
háromszögelés
A háromszögelés egy trigonometriai, geometriai művelet, amellyel egy háromszög két csúcsának koordinátáit, valamint a belső szögeket ismerve meghatározhatóak a harmadik csúcs koordinátái. Leggyakrabban geodéziai mérések során alkalmazzák.
21. századi közoktatás - fejlesztés, koordináció (TÁMOP-3.1.1-08/1-2008-0002)