vektoriális szorzat
Két, egymással
szöget bezáró a és b vektor vektoriális szorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek abszolútértéke |a||b| sin
és iránya merőleges az a és a b vektorokra úgy, hogy a vektoriális szorzat vektorával szembenézve az a vektort 180°-nál kisebb pozitív irányú forgással vihetjük át a b vektorral egyező irányba. A vektoriális szorzat jele: a × b (olvasd: „a kereszt b”). Szokás azt mondani, hogy az a, b vektorok, valamint az a × b vektoriális szorzatuk „jobbrendszert” alkotnak. A szavakkal megfogalmazott definíció meghatározza a vektoriális szorzat vektorának nagyságát: |a × b| = |a||b| sin
és irányát: az a, a b és az a × b (ebben a sorrendben) jobbrendszert alkot. A definícióból következően az a × b hossza megegyezik az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területének mérőszámával. Egy vektornak az önmagával vett vektoriális szorzata 0, azaz zérusvektor, mert ekkor a hajlásszög 0°, és sin 0°=0.
skaláris szorzat
Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolútértékének és hajlásszögük cosinusának szorzatát értjük.
trigonometrikus összefüggések
Trigonometrikus összefüggéseknek nevezzük azokat az összefüggéseket amelyek szögfüggvények között állnak fent. Ilyen például a tgx=sinx/cosx, vagy a cosx= sin(x+π/2);stb.
szinusz- és koszinusztétel egymásba alakítható
A szinusz és a koszinusz közötti egyszerűbb összefüggések a következőek: sinα=(π/2-α),cosα =sin(π/2-α), sin(x±y)=sin(x)•cos(y)±cos(x)•sin(y), cos(x±y)=cos(x)•cos(y)±sin(x)•sin(y), sin(2x)=2sin(x)•cos(x), cos(2x)=cos2(x)-sin2(x)=2cos2(x)-1.
értékkészlet szerepe egyenletek megoldásában
Egyenletek megoldásában nagy szerep van az egyenlet két oldalán álló függvény értékkészlete vizsgálatának, hiszen a két értékkészlet metszete adja az egyenlet megoldásainak alaphalmazát, ami azt jelenti, hogy a megoldhatóság szükséges feltétele, hogy ez a halmaz ne kegyen üres. Például
a egyenlet megoldása előtt az értékkészlet vizsgálatakor azt tapasztaljuk, hogy az egyenlet bal oldal csak pozitív, míg jobb oldala csak nem pozitív értékeket vehet föl, tehát az egyenletnek nincs megoldása.
kétszeres szögek szögfüggvényei
A kétszeres szögek szögfüggvényei a következőek sin(2α)=2*sin(α)*cos(α), cos(2α)=cos2(α)-sin2(α), tg(2α)=(2tg(α))/(1-tg2(α)).
paralelogramma oldalainak négyzetösszege
megoldások a különböző síknegyedekben
A trigonometrikus egyenletek olyan egyenletek ahol az ismeretlen valamelyik szögfüggvény változójaként jelenik meg. Ezeknek az egyenleteknek végtelen sok megoldása lehet mivel a szögfügevények periodikusak. pl x1=α+k*360 ahol α valamilyen szöget jelöl, k egész szám.
vektoriális szorzat tulajdonságai
A vektoriális szorzat se nem kommutatív se nem asszociatív művelet, azaz általában a × b
b × a és a × (b × c)
(a × b) × c. A vektoriális szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz a × (b + c ) = a × b + a × c illetve (b + c) × a = b × a + c × a. Konstanssal történő szorzásra fennáll, hogy c(a × b) = (ca) × b = a × (cb) (c
R).
szinusztétel
Bármely háromszögben két tetszőleges oldal aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszának arányával, azaz a : b : c = sin
: sin
: sin
.
háromszögelés
A háromszögelés egy trigonometriai, geometriai művelet, amellyel egy háromszög két csúcsának koordinátáit, valamint a belső szögeket ismerve meghatározhatóak a harmadik csúcs koordinátái. Leggyakrabban geodéziai mérések során alkalmazzák.
forgatónyomaték
A forgatónyomaték vektor mennyiség. A következő összefüggés írja le M=F*r ahol M-forgatónyomaték , F az erő nagysága, r pedig erőkar hossza.
jobbrendszer
Az a, b és c közös kezdőpontú vektorok a felírt sorrendben jobbrendszert alkotnak, ha abból a féltérből nézve az a és b vektorok síkját, amelybe a c vektor mutat, a-t a b által meghatározott félegyenesbe pozitív, azaz az óramutató járásával ellentétes, 180°-nál kisebb forgásszög viszi át.
trigonometrikus egyenlőtlenségek
Trigonometrikus egyenlőtlenségeknek nevezzük azt az egyenlőtlenséget amelyben a változó valamely szögfüggvény változója.
speciális eset: derékszögű háromszögben
A derékszögű háromszög egy speciális háromszög melynek az egyik belső szöge 90 fok vagyis derékszög.
szemléletes jelentése
nem kommutatív
Egy * műveletet kommutatívnak (felcserélhetőnek) nevezünk egy adott R halmazon, ha R halmaz minden a és b elemére a * b = b * a. Példa. Az összeadás a valós számok halmazán kommutatív, hiszen például 2 + 3 = 3 + 2. Nem kommutatív művelet például a valós számok halmazán értelmezett kivonás, hiszen például (3 – 4) – 5 = -6, de 3 – (4 – 5) = 4.
vektorok merőlegessége
Két vektor pontosan akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.
parabola paramétere
A parabola a sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy ponttól, a fókuszponttól (vagy gyújtóponttól) és egy egyenestől, a direktrix-től (vagy vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak. A direktrix és a fókuszpont p távolsága a parabola paramétere.
másodfokú kétismeretlenes egyenlet, ami nem kör egyenlete
Másodfokú kétismeretlenes egyenlete a következő geometriai alakzatoknak van: ellipszisnek, parabolának és hiperbolának.
irányvektorok és meredekségek összehasonlítása
skaláris szorzat kiszámítása a vektorok koordinátáival
Két vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével.
irányszög
Az egyenes irányszögének nevezzük az egyenes és az x tengely pozitív iránya által bezárt szöget. Jelölése:
. Így az irányszög nagyságáról tudjuk, hogy:
parabola fókuszpontja
A parabola a sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy ponttól, a fókuszponttól (vagy gyújtóponttól) és egy egyenestől, a direktrix-től (vagy vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak
ellipszis fókuszpontjai
Azon síkbeli pontok halmazát, amelyek két adott ponttól mért távolságuk összege állandó, és ez az állandó nagyobb a két pont távolságánál, ellipszisnek nevezzük. A két pontot az ellipszis fókuszontjának (vagy gyújtópontjának) hívjuk.
háromszög köré írt kör egyenletének felírása
megoldás mint rendezett számpár
Adott két egyenes a síkban amik metszik egymást a P(x0,y0) pontban. Keressük azokat a pontokat amelyek rajta vannak mind a két egyenesen. Tehát a megoldás halmaz maga a P pont, hiszen ha az egyenes egyenletébe behelyettesítenénk a P pont koordinátáit , akkor mind a két egyenes kielégítené hiszen a pont az egyeneseken van.
egy ponttal és egy irányszöggel megadott egyenes
Egy egyenest megadhatunk egy pontjával és irányszögével. Az irányszög a x tengellyel bezárt szöget jelenti.
két vektor párhuzamosságának feltétele
Két vektor, akkor párhuzamos ha irány tangensük megegyezik.
vektorok különbségének koordinátái
Vektorok különbségének koordinátái a megfelelő koordináták különbségével egyenlő, azaz a(x1; y1) és b(x2; y2), esetén a – b (x1 – x2; y1 – y2).
egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételei
Két egyenes párhuzamos, ha normálvektoraik párhuzamosak, irányvektoraik párhuzamosak, meredekségük egyenlő vagy nem értelmezhető.
irányvektor
Egy egyenes irányvektorának nevezünk minden az egyenessel párhuzamos vektort amely nem nullvektor. Jelölése: v(v1; v2)
félsíkok pontkoordinátái
Azon pontok koordinátái amelyek rajta vannak a félsíkon.
hiperbola
A hiperbola azon pontok helye a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától, a hiperbola fókuszpontjaitól (más néven gyújtópontjaitól) vett távolságkülönbsége abszolútértékben – a két pont távolságánál kisebb állandó.
iránytangens
Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének nevezzük. Jelölése: m = tg
(ahol
az egyenes irányszöge)
egy ponttal és egy normálvektorral megadott egyenes
A P0 (x0; y0) ponton átmenő n(A; B) normálvektorú egyenes egyenlete: Ax + By = Ax0 + By0. Például: A P0(-2; 4) pontra illeszkedő n(1; 7) irányvektorú egyenes egyenlete:
. Rendezve: x + 7y = 26.
egyenes egyenletének felírása
Egyenes egyenlete fölríható például egy pontjának és egy normálvektorának koordinátái segítségével. Legyen az egyenesre illeszkedő pont P0(x0; y0), n(A; B) pedig az egyenes egy normálvektora. Ekkor az egyenes egyenlete Ax + By = Ax0 + By0.
ellipszis
Azon síkbeli pontok halmazát, amelyek két adott ponttól mért távolságuk összege állandó, és ez az állandó nagyobb a két pont távolságánál, ellipszisnek nevezzük.
felezőpontba mutató helyvektor
Olyan helyvektor (origóból induló vektor), amelynek végpontja egy adott szakasz felezéspontja.
parabola tengelypontja
A parabola a sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy ponttól, a fókuszponttól (vagy gyújtóponttól) és egy egyenestől, a direktrix-től (vagy vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak. Azt a pontot, amely a fókusz és direktrix között félúton helyezkedik el, a parabola csúcspontjának (más néven tengelypontjának) hívjuk.
vektor kilencven fokos forgatottjának koordinátái
Ha egy vektort 90°-kal elforgatunk, akkor a kapott vektor koordinátáit úgy kapjuk, hogy az eredeti vektor két koordinátáját megcseréljük, s az egyiket (-1)-gyel szorozzuk. Így az a(x; y) vektor 90° elforgatottjának koordinátái (-y; x) illetve (y; -x), aszerint, hogy pozitív vagy negatív irányba forgattuk el.
összefüggések az ellipszis adatai között
Az ellipszis egy olyan görbe, amelynek pontjai két rögzített ponttól mért távolságának összege állandó. A két rögzített pontot az ellipszis gyújtópontjainak nevezzük. Tehát, ha az ellipszis két pontja „P” és „K”, akkor a két rögzített „a”, „b” pontoktól mért távolságaik összege állandó, vagyis: Pa+Pb=Ka+Kb, ahol Pa, a „P” pont „a” ponttól mért távolsága, míg Pb, a „b” ponttól mért távolság, „K” pont esetén Ka, az „a” pont, míg Kb a „b” pont távolsága.
kör egyenlete
Az O (u; v) középpontú r sugarú kör egyenlete:
. Speciálisan, ha a kör középpontja az origó, akkor az egyenlete:
. Például Az O(3, -2) középpontú, 5 egység sugarú kör egyenlete:
.
körön kívüli pontokra igaz egyenlőtlenség
A körön kívüli pontokra igaz a következő egyenlet: (x-u)2+(y-v)2=>r2.
egy ponttal és egy iránytangenssel megadott egyenes
Adott az e egyenes P0(x0; y0) pontja és m iránytangense. Ekkor az e egy normálvektora(m; -1). Ezt behelyettesítve a normálvektoros alakba kapjuk, hogy : mx – y = mx0 – y0, amiből átrendezéssel: y – y0 = m(x – x0). Ez az m iránytangensével és P0(x0; y0) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének iránytényezős alakja.
parabola csúcsponti egyenlete
Egy origó tengelypontú F
fókuszpontú parabola tengelyponti vagy csúcsponti egyenletének nevezzük a 2py = x2 vagy
egyenletet.
megoldás pont a koordinátarendszerben
Adott a sík és két egyenes amik metszik egymást egy pontban. Ezt a pontot megadhatjuk koordinátái megadásával. P(x,y)
forgáskúppalást síkkal való metszetei
Egy forgáskúp palástját síkkal elmetszve különböző alakzatokat kaphatunk. Ha a metsző síkunk párhuzamos az alappal, akkor kört, ha nem párhuzamos, de nem is metsz az alapba akkor ellipszist kapunk. Ha a metsző sík az alkotókkal párhuzamos, akkor parabola keletkezik.
helyvektor eltolása
Tüntessük ki a tér egy pontját amit elnevezünk O-nak és origónak fogjuk nevezni. Ekkor a tér tetszőleges A pontjába mutató OA vektort az A pont helyvektorának hívjuk.
futópont
Egy alakzat egy tetszőleges pontját az alakzat futópontjának nevezzük.
egyenesek merőlegességének szükséges és elégséges feltételei
Két egyenes merőleges, ha irányvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0); normálvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0); meredekségeik szorzata -1 vagy az egyiké 0 és a másiké nem értelmezhető.
hiperbola valós tengelye
A hiperbola azon pontok helye a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától, a hiperbola fókuszpontjaitól (más néven gyújtópontjaitól) vett távolságkülönbsége abszolútértékben – a két pont távolságánál kisebb állandó. A két adott F1 és F2 fókuszpont által meghatározott szakasz felezőpontja a hiperbola középpontja. A fókuszpontok által meghatározott egyenes a hiperbola két ágából kimetszi az A és B pontokat. Az AB szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük. (Szokták még az AB egyenest is a hiperbola valós tengelyének nevezni.)
parabola a koordinátasíkon
A parabola azon pontok halmaza a síkon, melyek a sík egy adott egyenesétől és egy rajta kívül eső ponttól egyenlő távolságra vannak.
parabola pontjainak szerkesztése
Elsőként felvesszük a vezéregyenest (v) és a parabola fókuszpontját (F). (Ehhez ismernünk kell a paraméterét.) Az F pontból a vezéregyenesre bocsátott merőleges a parabola szimmetriatengelye. A vezéregyenes és a tengely metszéspontjával valamint a fókuszponttal meghatározott szakasz felezőpontja a parabola egyik pontja, amelyet a parabola tengelypontjának (más néven csúcspontjának) nevezünk. A parabola további pontjainak szerkesztéséhez a vezéregyenessel párhuzamos egyeneseket veszünk fel. Legyen ez egy a egyenes. A d(a, v) távolságot körzőnyílásba vesszük és ezzel az a egyenest az F fókuszpontból elmetsszük. A kapott A és B pontok pontjai a parabolának. Újabb pontokat is hasonlóan szerkeszthetünk.
két kör metszépontjai
Két kör közös pontjainak koordinátáit meghatározhatjuk, ha a két kör egyenletéből alkotott kétismeretlenes két egyenletből álló egyenletrendszert megoldjuk. A közös pontok koordinátái az egyenletrendszert kielégítő valós számpárok.
egyenes vektoregyenlete
Adott az egyenes P0(x0; y0) pontjának r0(x0; y0) helyvektora és n(A; B) normálvektora. Az egyenes egy tetszőleges P(x; y) pontjának helyvektora r(x; y). Ekkor
= r – r0 vektor az egyenes egy irányvektora. Mivel az egyenes n normálvektora és
irányvektora egymásra merőlegesek, ezért skaláris szorzatuk n(r – r0) = 0. Ezt az egyenes vektoregynletének nevezzük.
vezérsugarak
A fókuszból a parabola egy tetszőleges pontjához húzott szakaszt rádiusznak (vagy vezérsugárnak) is nevezzük.
két ponttal megadott egyenes
Legyen megadva az A(x1; y1) és B(x2; y2). A rajtuk fekvő egyenesnek egy irányvektora az
= b – a (x2 – x1; y2 –y1) vektor. Mivel ismerjük az egyenes egy pontját és egy irányvektorát, már fölírhatjuk az egyenes egyenletét.
vektorok lineáris kombinációjának koordinátái
Lineáris kombinációjának nevezzük a k és l vektornak azt a vektorát, amely a következő képen számolható: m= αk+βl. Ha m=0 akkor két eset állhat fenn, első esetben αk+βl=0 csak akkor lehetséges, ha α=β=0, ebben az esetben a k és l vektorok lineárisan függetlenek. Minden más esetben a két vektor lineárisan függő.
megoldáshalmazok közös része
Adott két egyenes a síkban amik metszik egymást a P(x0,y0) pontban. Keressük azokat a pontokat amelyek rajta vannak mind a két egyenesen. Tehát a megoldás halmaz maga a P pont, hiszen ha az egyenes egyenletébe behelyettesítenénk a P pont koordinátáit , akkor mind a két egyenes kielégítené hiszen a pont az egyeneseken van.
kör és parabola helyzete
kör belső pontjaira igaz egyenlőtlenség
Kör belső pontjaira igaz egyenlőtlenség: (x-u)2+(y-v)2=>r2 ahol u abszcissza és v ordináta.
osztópontba mutató helyvektor
Az AB szakasz végpontjainak helyvektorai: a(x1; y1), b (x2; y2). A szakaszt az AP : PB = m : n arányban osztó P pont helyvektora
, ami azt jelenti, hogy P koordinátái x =
és y =
.
21. századi közoktatás - fejlesztés, koordináció (TÁMOP-3.1.1-08/1-2008-0002)