Két, egymással szöget bezáró a és b vektor vektoriális szorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek abszolútértéke |a||b| sin és iránya merőleges az a és a b vektorokra úgy, hogy a vektoriális szorzat vektorával szembenézve az a vektort 180°-nál kisebb pozitív irányú forgással vihetjük át a b vektorral egyező irányba. A vektoriális szorzat jele: a × b (olvasd: „a kereszt b”). Szokás azt mondani, hogy az a, b vektorok, valamint az a × b vektoriális szorzatuk „jobbrendszert” alkotnak. A szavakkal megfogalmazott definíció meghatározza a vektoriális szorzat vektorának nagyságát: |a × b| = |a||b| sin és irányát: az a, a b és az a × b (ebben a sorrendben) jobbrendszert alkot. A definícióból következően az a × b hossza megegyezik az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területének mérőszámával. Egy vektornak az önmagával vett vektoriális szorzata 0, azaz zérusvektor, mert ekkor a hajlásszög 0°, és sin 0°=0.

Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolútértékének és hajlásszögük cosinusának szorzatát értjük.

Trigonometrikus összefüggéseknek nevezzük azokat az összefüggéseket amelyek szögfüggvények között állnak fent. Ilyen például a tgx=sinx/cosx, vagy a cosx= sin(x+π/2);stb.

A szinusz és a koszinusz közötti egyszerűbb összefüggések a következőek: sinα=(π/2-α),cosα =sin(π/2-α), sin(x±y)=sin(x)•cos(y)±cos(x)•sin(y), cos(x±y)=cos(x)•cos(y)±sin(x)•sin(y), sin(2x)=2sin(x)•cos(x), cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)=2cos²(x)-1.

Egyenletek megoldásában nagy szerep van az egyenlet két oldalán álló függvény értékkészlete vizsgálatának, hiszen a két értékkészlet metszete adja az egyenlet megoldásainak alaphalmazát, ami azt jelenti, hogy a megoldhatóság szükséges feltétele, hogy ez a halmaz ne kegyen üres. Például a egyenlet megoldása előtt az értékkészlet vizsgálatakor azt tapasztaljuk, hogy az egyenlet bal oldal csak pozitív, míg jobb oldala csak nem pozitív értékeket vehet föl, tehát az egyenletnek nincs megoldása.

A kétszeres szögek szögfüggvényei a következőek sin(2α)=2*sin(α)*cos(α), cos(2α)=cos2(α)-sin2(α), tg(2α)=(2tg(α))/(1-tg2(α)).

A trigonometrikus egyenletek olyan egyenletek ahol az ismeretlen valamelyik szögfüggvény változójaként jelenik meg. Ezeknek az egyenleteknek végtelen sok megoldása lehet mivel a szögfügevények periodikusak. pl x1=α+k*360 ahol α valamilyen szöget jelöl, k egész szám.

A vektoriális szorzat se nem kommutatív se nem asszociatív művelet, azaz általában a × b b × a és a × (b × c) (a × b) × c. A vektoriális szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz a × (b + c ) = a × b + a × c illetve (b + c) × a = b × a + c × a. Konstanssal történő szorzásra fennáll, hogy c(a × b) = (ca) × b = a × (cb) (c R).

Bármely háromszögben két tetszőleges oldal aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszának arányával, azaz a : b : c = sin : sin : sin .

A háromszögelés egy trigonometriai, geometriai művelet, amellyel egy háromszög két csúcsának koordinátáit, valamint a belső szögeket ismerve meghatározhatóak a harmadik csúcs koordinátái. Leggyakrabban geodéziai mérések során alkalmazzák.

A forgatónyomaték vektor mennyiség. A következő összefüggés írja le M=F*r ahol M-forgatónyomaték , F az erő nagysága, r pedig erőkar hossza.

Az a, b és c közös kezdőpontú vektorok a felírt sorrendben jobbrendszert alkotnak, ha abból a féltérből nézve az a és b vektorok síkját, amelybe a c vektor mutat, a-t a b által meghatározott félegyenesbe pozitív, azaz az óramutató járásával ellentétes, 180°-nál kisebb forgásszög viszi át.

Trigonometrikus egyenlőtlenségeknek nevezzük azt az egyenlőtlenséget amelyben a változó valamely szögfüggvény változója.

A derékszögű háromszög egy speciális háromszög melynek az egyik belső szöge 90 fok vagyis derékszög.

Egy * műveletet kommutatívnak (felcserélhetőnek) nevezünk egy adott R halmazon, ha R halmaz minden a és b elemére a * b = b * a. Példa. Az összeadás a valós számok halmazán kommutatív, hiszen például 2 + 3 = 3 + 2. Nem kommutatív művelet például a valós számok halmazán értelmezett kivonás, hiszen például (3 – 4) – 5 = -6, de 3 – (4 – 5) = 4.

Két vektor pontosan akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.

A parabola a sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy ponttól, a fókuszponttól (vagy gyújtóponttól) és egy egyenestől, a direktrix-től (vagy vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak. A direktrix és a fókuszpont p távolsága a parabola paramétere.

Másodfokú kétismeretlenes egyenlete a következő geometriai alakzatoknak van: ellipszisnek, parabolának és hiperbolának.

Két vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével.

Az egyenes irányszögének nevezzük az egyenes és az x tengely pozitív iránya által bezárt szöget. Jelölése: . Így az irányszög nagyságáról tudjuk, hogy:

A parabola a sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy ponttól, a fókuszponttól (vagy gyújtóponttól) és egy egyenestől, a direktrix-től (vagy vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak

Azon síkbeli pontok halmazát, amelyek két adott ponttól mért távolságuk összege állandó, és ez az állandó nagyobb a két pont távolságánál, ellipszisnek nevezzük. A két pontot az ellipszis fókuszontjának (vagy gyújtópontjának) hívjuk.

Adott két egyenes a síkban amik metszik egymást a P(x0,y0) pontban. Keressük azokat a pontokat amelyek rajta vannak mind a két egyenesen. Tehát a megoldás halmaz maga a P pont, hiszen ha az egyenes egyenletébe behelyettesítenénk a P pont koordinátáit , akkor mind a két egyenes kielégítené hiszen a pont az egyeneseken van.

Egy egyenest megadhatunk egy pontjával és irányszögével. Az irányszög a x tengellyel bezárt szöget jelenti.

Két vektor, akkor párhuzamos ha irány tangensük megegyezik.

Vektorok különbségének koordinátái a megfelelő koordináták különbségével egyenlő, azaz a(x₁; y₁) és b(x₂; y₂), esetén a – b (x₁ – x₂; y₁ – y₂).

Két egyenes párhuzamos, ha normálvektoraik párhuzamosak, irányvektoraik párhuzamosak, meredekségük egyenlő vagy nem értelmezhető.

Egy egyenes irányvektorának nevezünk minden az egyenessel párhuzamos vektort amely nem nullvektor. Jelölése: v(v₁; v₂)

Azon pontok koordinátái amelyek rajta vannak a félsíkon.

A hiperbola azon pontok helye a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától, a hiperbola fókuszpontjaitól (más néven gyújtópontjaitól) vett távolságkülönbsége abszolútértékben – a két pont távolságánál kisebb állandó.

Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének nevezzük. Jelölése: m = tg (ahol az egyenes irányszöge)

A P₀ (x₀; y₀) ponton átmenő n(A; B) normálvektorú egyenes egyenlete: Ax + By = Ax₀ + By₀. Például: A P₀(-2; 4) pontra illeszkedő n(1; 7) irányvektorú egyenes egyenlete: . Rendezve: x + 7y = 26.

Egyenes egyenlete fölríható például egy pontjának és egy normálvektorának koordinátái segítségével. Legyen az egyenesre illeszkedő pont P₀(x₀; y₀), n(A; B) pedig az egyenes egy normálvektora. Ekkor az egyenes egyenlete Ax + By = Ax₀ + By₀.

Azon síkbeli pontok halmazát, amelyek két adott ponttól mért távolságuk összege állandó, és ez az állandó nagyobb a két pont távolságánál, ellipszisnek nevezzük.

Olyan helyvektor (origóból induló vektor), amelynek végpontja egy adott szakasz felezéspontja.

A parabola a sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy ponttól, a fókuszponttól (vagy gyújtóponttól) és egy egyenestől, a direktrix-től (vagy vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak. Azt a pontot, amely a fókusz és direktrix között félúton helyezkedik el, a parabola csúcspontjának (más néven tengelypontjának) hívjuk.

Ha egy vektort 90°-kal elforgatunk, akkor a kapott vektor koordinátáit úgy kapjuk, hogy az eredeti vektor két koordinátáját megcseréljük, s az egyiket (-1)-gyel szorozzuk. Így az a(x; y) vektor 90° elforgatottjának koordinátái (-y; x) illetve (y; -x), aszerint, hogy pozitív vagy negatív irányba forgattuk el.

Az ellipszis egy olyan görbe, amelynek pontjai két rögzített ponttól mért távolságának összege állandó. A két rögzített pontot az ellipszis gyújtópontjainak nevezzük. Tehát, ha az ellipszis két pontja „P” és „K”, akkor a két rögzített „a”, „b” pontoktól mért távolságaik összege állandó, vagyis: Pa+Pb=Ka+Kb, ahol Pa, a „P” pont „a” ponttól mért távolsága, míg Pb, a „b” ponttól mért távolság, „K” pont esetén Ka, az „a” pont, míg Kb a „b” pont távolsága.

Az O (u; v) középpontú r sugarú kör egyenlete: . Speciálisan, ha a kör középpontja az origó, akkor az egyenlete: . Például Az O(3, -2) középpontú, 5 egység sugarú kör egyenlete: .

A körön kívüli pontokra igaz a következő egyenlet: (x-u)2+(y-v)2=>r2.

Adott az e egyenes P₀(x₀; y₀) pontja és m iránytangense. Ekkor az e egy normálvektora(m; -1). Ezt behelyettesítve a normálvektoros alakba kapjuk, hogy : mx – y = mx₀ – y₀, amiből átrendezéssel: y – y₀ = m(x – x₀). Ez az m iránytangensével és P0(x₀; y₀) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének iránytényezős alakja.

Egy origó tengelypontú F fókuszpontú parabola tengelyponti vagy csúcsponti egyenletének nevezzük a 2py = x² vagy egyenletet.

Adott a sík és két egyenes amik metszik egymást egy pontban. Ezt a pontot megadhatjuk koordinátái megadásával. P(x,y)

Egy forgáskúp palástját síkkal elmetszve különböző alakzatokat kaphatunk. Ha a metsző síkunk párhuzamos az alappal, akkor kört, ha nem párhuzamos, de nem is metsz az alapba akkor ellipszist kapunk. Ha a metsző sík az alkotókkal párhuzamos, akkor parabola keletkezik.

Tüntessük ki a tér egy pontját amit elnevezünk O-nak és origónak fogjuk nevezni. Ekkor a tér tetszőleges A pontjába mutató OA vektort az A pont helyvektorának hívjuk.

Egy alakzat egy tetszőleges pontját az alakzat futópontjának nevezzük.

Két egyenes merőleges, ha irányvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0); normálvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0); meredekségeik szorzata -1 vagy az egyiké 0 és a másiké nem értelmezhető.

A hiperbola azon pontok helye a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától, a hiperbola fókuszpontjaitól (más néven gyújtópontjaitól) vett távolságkülönbsége abszolútértékben – a két pont távolságánál kisebb állandó. A két adott F₁ és F₂ fókuszpont által meghatározott szakasz felezőpontja a hiperbola középpontja. A fókuszpontok által meghatározott egyenes a hiperbola két ágából kimetszi az A és B pontokat. Az AB szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük. (Szokták még az AB egyenest is a hiperbola valós tengelyének nevezni.)

A parabola azon pontok halmaza a síkon, melyek a sík egy adott egyenesétől és egy rajta kívül eső ponttól egyenlő távolságra vannak.

Elsőként felvesszük a vezéregyenest (v) és a parabola fókuszpontját (F). (Ehhez ismernünk kell a paraméterét.) Az F pontból a vezéregyenesre bocsátott merőleges a parabola szimmetriatengelye. A vezéregyenes és a tengely metszéspontjával valamint a fókuszponttal meghatározott szakasz felezőpontja a parabola egyik pontja, amelyet a parabola tengelypontjának (más néven csúcspontjának) nevezünk. A parabola további pontjainak szerkesztéséhez a vezéregyenessel párhuzamos egyeneseket veszünk fel. Legyen ez egy a egyenes. A d(a, v) távolságot körzőnyílásba vesszük és ezzel az a egyenest az F fókuszpontból elmetsszük. A kapott A és B pontok pontjai a parabolának. Újabb pontokat is hasonlóan szerkeszthetünk.

Két kör közös pontjainak koordinátáit meghatározhatjuk, ha a két kör egyenletéből alkotott kétismeretlenes két egyenletből álló egyenletrendszert megoldjuk. A közös pontok koordinátái az egyenletrendszert kielégítő valós számpárok.

Adott az egyenes P₀(x₀; y₀) pontjának r₀(x₀; y₀) helyvektora és n(A; B) normálvektora. Az egyenes egy tetszőleges P(x; y) pontjának helyvektora r(x; y). Ekkor = r – r0 vektor az egyenes egy irányvektora. Mivel az egyenes n normálvektora és irányvektora egymásra merőlegesek, ezért skaláris szorzatuk n(r – r0) = 0. Ezt az egyenes vektoregynletének nevezzük.

A fókuszból a parabola egy tetszőleges pontjához húzott szakaszt rádiusznak (vagy vezérsugárnak) is nevezzük.

Legyen megadva az A(x1; y1) és B(x2; y2). A rajtuk fekvő egyenesnek egy irányvektora az = b – a (x2 – x1; y2 –y1) vektor. Mivel ismerjük az egyenes egy pontját és egy irányvektorát, már fölírhatjuk az egyenes egyenletét.

Lineáris kombinációjának nevezzük a k és l vektornak azt a vektorát, amely a következő képen számolható: m= αk+βl. Ha m=0 akkor két eset állhat fenn, első esetben αk+βl=0 csak akkor lehetséges, ha α=β=0, ebben az esetben a k és l vektorok lineárisan függetlenek. Minden más esetben a két vektor lineárisan függő.

Adott két egyenes a síkban amik metszik egymást a P(x0,y0) pontban. Keressük azokat a pontokat amelyek rajta vannak mind a két egyenesen. Tehát a megoldás halmaz maga a P pont, hiszen ha az egyenes egyenletébe behelyettesítenénk a P pont koordinátáit , akkor mind a két egyenes kielégítené hiszen a pont az egyeneseken van.

Kör belső pontjaira igaz egyenlőtlenség: (x-u)²+(y-v)²=>r² ahol u abszcissza és v ordináta.

Az AB szakasz végpontjainak helyvektorai: a(x₁; y₁), b (x₂; y₂). A szakaszt az AP : PB = m : n arányban osztó P pont helyvektora , ami azt jelenti, hogy P koordinátái x = és y = .