Binom fogalma, együtthatói

A kéttagú kifejezést idegen szóval binomnak nevezzük. A binomokhatványozásánál fellépő együtthatóknak innen származik az elnevezése. Az számokat binomiális együtthatóknaknevezzük. Az n és k természetes számok, a k nem lehet nagyobb az n-nél.

Ismert az (a+b)² = a² + 2ab + b², továbbá az (a+b)³ = a³+ 3a²b+3ab² + b³ azonosság. Ez utóbbi azonossághoz úgy jutottunk, hogy az (a+b)(a+b)(a+b) háromtényezős szorzatot, a szorzások elvégzésével, rendezett többtagú kifejezéssé alakítottuk. Ugyanígy, azaz a szorzások elvégzésével, (a+b)⁵-t is, vagy adott n esetben (a+b)ⁿ-t is átalakíthatjuk rendezett többtagú kifejezéssé.

A rendezett többtagú kifejezésekhez azonban a szorzások formális elvégzése nélkül, más gondolatmenettel is eljuthatunk. Tekintsük például az a+b kéttagú kifejezés ötödik hatványát. A definíció szerint:

(a+b)⁵ = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).

A szorzások elvégzése nélkül gondolkodjunk a következő módon: A tényezők két-két tagja (a és b) közül minden lehetséges módon összeszorzunk egyet-egyet. Így a következő esetek adódnak:

Ha a-t 5 tényezőből választjuk, akkor b-t 0-ból; a szorzata⁵,

ha a-t 4 tényezőből választjuk, akkor b-t 1-ből; a szorzata⁴b,

ha a-t 3 tényezőből választjuk, akkor b-t 2-ből; a szorzata³b²,

ha a-t 2 tényezőből választjuk, akkor b-t 3-ból; a szorzata²b³,

ha a-t 1 tényezőből választjuk, akkor b-t 4-ből; a szorzatab⁴,

ha a-t 0 tényezőből választjuk, akkor b-t 5-ből; a szorzatb⁵.

Az a⁵, a⁴b, a³b², a²b³, ab⁴, b⁵, tagokegyütthatói azok a számok, amelyek megadják, hogy az 5 tényezőből hányféle módon lehet kiválasztani azokat, amelyek a megfelelő számú b tényezőt adják.

Például, ha 5 tényezőből 0 db b-t választunk, akkor ez kombináció keresését jelenti, így az ilyen választások száma .

Tehát az együtthatók:

Ezekkel könnyedén felírhatjuk az -t rendezett többtagú alakban:

Számítsuk ki az együtthatókat:

Ezeket behelyettesítve: