A geometria történetéről

A geometria szó alatt ma mértant értünk. Feledésbe merült, hogy a geometria, ez az ó-görög szó, pontos fordításban földmérést jelent. Ez az elnevezés arra utal, hogy milyen kérdések, milyen feladatok vezettek a geometria tudományának a kialakulásához.

A földterületek pontos és megbízható kijelölése mindig fontos volt. A kiáradt folyók elmosták a mezsgyéket, az áradás után újból jelölni kellett a határoló vonalakat. A kereskedőknek, a katonáknak, a hajósoknak mindig szükségük volt a városok távolságainak megbízható ismeretére.
Ezekre a kérdésekre az idők folyamán különböző módon keresték a válaszokat. A technika és a tudomány fejlődése mindig fejlesztette a távolság- és magasságmeghatározási módszereket is.

Az i. e. VI. században élt Thalész a piramisok magasságát úgy határozta meg, hogy az árnyékuk hosszát mérte meg abban a pillanatban, amikor egy test és annak az árnyéka egyenlő hosszú volt.

Thalész ennél összetettebb méréseket is végzett. Feljegyezték, hogy meghatározta egy hajónak a kikötőtől való távolságát is. Ennek mérési módja azonban nem maradt fenn, de feltételezhető, hogy azonos az alább leírt módszerrel.

A K kikötőből látszik a H hajó. Emeljünk merőlegest a HK egyenesre, és ezen jelöljünk ki egy P pontot. Felezzük meg a szakaszt az F ponttal. Emeljünk merőleges félegyenest a KP szakaszra (természetesen a parton), és ezen a félegyenesen menjünk addig, amíg a H hajót és az F felezőpontot egy irányban látjuk. Ez a pont legyen T. A szakasz hossza adja meg a hajónak a kikötőtől való távolságát.
Ennek a mérési módszernek a lényege a és a háromszögek egybevágósága.

Később mind fontosabb lett a távolságok pontos meghatározása. Külön foglalkozássá vált a földmérés.

Magasságmeghatározást, amelyet Thalész a piramisoknál napfénynél, árnyékkal, megfelelő időben végzett, más módon, a körülményektől függetlenül is végezhetünk. Ilyen mérésre és számításra mutatunk példát.

Emelkedési és lehajlási szög

Az egyszerűség kedvéért a vízszintes felett mért szöget emelkedési szögnek, a vízszintes alattit lehajlási, vagy depressziószögnek nevezzük.

Feladat: távolágmérés hasonlósággal

Vízszintes sík talajon egy gyárkémény magasságát akarjuk meghatározni. Az A pontban állunk. Megmérjük a kéménytől való távolságunkat: AT = 48 m. Az A pontban 1,5 m magas állványra felteszünk egy szögmérőt, és megmérjük, hogy a B pontból a vízszintes egyenes felett milyen látószöggel látjuk a kémény tetejét, a C pontot. Ezt a szöget -nak mérjük. Milyen magas a kémény?

Megoldás: távolágmérés hasonlósággal

A B ponton át az szakasszal párhuzamost húzunk, ezzel kialakítjuk a derékszögű háromszöget. Ennek ismerjük a befogóját, hiszen m, és a szögét. Ez a két adat meghatározza a derékszögű háromszöget.

Ezután készítünk egy olyan háromszöget, amely a háromszöghöz hasonló. Szögmérő segítségével felveszünk egy -os szöget, és ehhez derékszögű háromszöget szerkesztünk.

A két derékszögű háromszög az azonos hegyesszög miatt hasonló.

Lemérjük a rajzunkon lévő derékszögű háromszög két befogójának a hosszát: ,

Felírjuk a két hasonló háromszög megfelelő oldalainak az arányát:

,
,
(m).

Ezzel - a mérések miatt közelítő pontossággal - kiszámoltuk a kéménynél lévő CD szakasz hosszúságát. A kémény magassága:

(m) .