Felbontás egyállású vektorok esetén

Ha adott az egyállású a és b vektor, és egyik sem 0, akkor sejtjük, hogy az egyik a másiknak a skalárszorosa. Ezt úgy láthatjuk be, hogy megmutatjuk, hogyan írható fel az egyik a másik számszorosaként.

Legyen a és b egyállású és azonos irányú két vektor. Az ábrán a nagyságukat is látjuk. Egységvektoruk azonos: , ebből . Ugyanezzel a gondolatmenettel dolgozhatunk ellenkező irányú vektorok esetén is.

Ha adott az a és a vele egyállású b vektor ( ), akkor az a vektorból a b vektor skalárral történő szorzással előállítható,
azonos irányú a és b esetén: ,
ellenkező irányú a és b esetén: .

Felbontás nem egyállású vektorokkal

Adottak az a és b nem egyállású vektorok és a velük egysíkú v vektor.

Felmerül a kérdés, hogy megfordíthatjuk-e az előző fejezetben látott eljárást. Felírhatjuk-e a v vektort az a és b vektorok lineáris kombinációjaként? Ezt a kérdést az alábbi módon is megfogalmazhatjuk:

A v vektor felbontható-e az a és a b vektorokkal egyállású összetevőkre?

Az ábrán az ott megadott a, b, valamint v vektorokkal ezt megtettük. A v vektort felbontottuk a-val és b-vel egyállású összetevők összegére: .
Más esetben is megtehetjük ezt?

Az előbb látott módon mindig szerkeszthetünk paralelogrammát, ha a és b nem egyállású, és a velük egysíkú v vektor mindig felírható alakban, és ilyen alakban csak egyféleképpen írható fel.

Ha adott az a és b nem egyállású vektor, akkor bármely, velük egysíkú v vektor egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyállású összetevőkre, azaz egyértelműen felírható

alakban, ahol , .

Szokásos elnevezések a v vektor előző felbontásánál:
az a és b vektorok bázisvektorok,
az és pedig komponensek.

Vektor felbontása összetevőkre