Feladat: másodfokú függvények transzformációja

Másodfokú függvényekkel már foglalkoztunk. Tudjuk, hogy a legegyszerűbb másodfokú függvény a valós számok halmazán értelmezett függvény, képe a normálparabola. Láttuk, hogy függvénytranszformácikókkal ebből újabb másodfokú függvényeket állíthatunk elő.

A következőkben azt vizsgáljuk, hogy valamely másodfokú függvény hogyan állítható elő a legegyszerűbb másodfokú függvényből, hogyan kapható meg képe a normálparabolából. Vizsgálataink során olyan általános megállapításokat keresünk, amelyek segítségével bármely másodfokú függvény menetét pontosan jellemezhetjük (akár a képe megrajzolása nélkül).

Állapítsuk meg, hogy milyen transzformációkkal állítható elő az
függvényből a függvény, és jellemezzük a g függvényt!

Megoldás: másodfokú függvények transzformációja

Ehhez a g függvény hozzárendelési szabályát teljes négyzet alakban írjuk fel:
.
Ezért a g függvény:

Ebből az alakból leolvashatjuk az egymás utáni transzformációkat:
1.
2.
3.
Ezek a függvénytranszformációk a normálparabola geometriai transzformációit jelentik.

1. A normálparabolát 4 egységgel toljuk el.
2. Az eltolt normálparabola minden pontjának az y koordinátáját 2-vel szorozzuk, azaz a parabolát az y tengely irányába kétszeresére nyújtjuk.
3. A kapott parabolát 7 egységgel lefelé eltoljuk.

Az függvény a intervallumon monoton csökken, a intervallumon monoton nő, -nál csökkenésből növekedésbe megy át, ott minimuma van. A minimális függvényérték: .
Az f függvény képe az egyenletű parabola, tengelypontja a (0;0) pont, ez a parabola „legalsó” pontja.
A transzformációk folytán a függvény a intervallumon monoton csökken, a intervallumon monoton nő,
-nél csökkenésből növekedésbe megy át, ott minimuma van.
A minimális függvényérték: .
A g függvény képe az egyenletű parabola, tengelypontja a (4;-7) pont, ez a parabola „legalsó” pontja.
A g függvény zérushelyei a függvényhez kapcsolódó egyenlet gyökei:

A g függvény zérushelyei:

Tulajdonságok összefoglalása

A másodfokú függvényeknek azokat a tulajdonságait, amelyeket az előbbiekben megbeszéltünk, az alábbiakban összefoglaljuk: Az
, , ( )
másodfokú függvénynek vagy minimuma, vagy maximuma, közös néven szélsőértéke van.
Az előző f függvény hozzárendelési szabályát (teles négyzetté kiegészítéssel) átírtuk az alábbi alakba:
,
Ebből az alakból leolvashatjuk, hogy az f függvény képét a normálparabolából milyen geometriai transzformációkkal kapjuk meg.
Az , másodfokú függvény szélsőértékének x koordinátája:

A szélsőérték,
ha , akkor minimum,
ha , akkor maximum.
A szélsőértéknél a függvényérték:

Az , függvény zérushelyei az egyenlet gyökei.

Tudjuk, hogy a gyökök a diszkriminánstól függnek. A másodfokú függvények képe, a hozzájuk tartozó egyenletek diszkriminánsa és az egyenletek gyökei közötti kapcsolatot mutatja.