Feladat: másodfokúra visszavezethető egyenletek

Az első- és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módját megismertük. Az ezektől eltérő sokféle egyenlet közül néhányat átalakíthatunk úgy, hogy azokat is megoldhatjuk az előzőekben megismert módszerekkel.

Oldjuk meg a egyenletet!

Megoldás: másodfokúra visszavezethető egyenletek

Ez egyismeretlenes negyedfokú egyenlet.

Az ilyen egyenletekben az ismeretlen a negyedik hatványon kívül szerepelhet a harmadik, második, első hatványon is, és lehet benne konstans is.

Az egyismeretlenes negyedfokú egyenlet rendezett alakja:

,

ahol .

A megoldandó

(1)

egyenletben mindössze háromféle tag van. Az egyik tagban az ismeretlen a negyedik, egy másik tagban a második hatványon szerepel, és van benne egy konstans tag.

Tudjuk, hogy ,ezért az (1) egyenletet tekinthetjük -re nézve másodfokú egyenletnek, és felírhatjuk

(2)

alakban is.

Az eredeti (1) egyenletet más módon is felírhatjuk. Megtehetjük, hogy helyére egy új ismeretlent vezetünk be. Legyen

, ekkor . (3)

Egyenletünk új alakja:

. (4)

Ha figyelembe vesszük az új ismeretlen (3) alatti bevezetését, akkor a (4) egyenlet is ugyanazokat a gyököket adja, mint az (1) vagy (2) egyenlet.

Az (1) vagy (2) alakból, a másodfokú egyenletek megoldási módjával, kiszámítjuk -et:

-re két különböző pozitív számot kaptunk, ezzel két egyenlethez jutottunk, az

és az

egyenletekhez. Mindkettőnek két-két gyöke van, így az (1) egyenlet megoldásaként négy gyököt kapunk:

A megoldást behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, az (1) egyenletet mind a négy gyök kielégíti. A másodfokú egyenletre történő visszavezetésnek, majd az x² = konstans egyenletek megoldásának végiggondolása is mutatja, hogy mind a négy gyöknek ki kell elégítenie az eredeti egyenletet.