Feladat: másodfokú egyenletrendszer

A következőkben néhány példán olyan módszereket mutatunk be, amelyek jól használhatók egy-egy másod, vagy magasabb fokú egyenletrendszer megoldásánál. A példákat néha többféle módon is megoldjuk.
Mutatunk előnyösen alkalmazható módszereket (a behelyettesítő módszer gyakran ilyen), és látunk olyanokat is, amelyeket tanácsos elkerülnünk. Olyan megoldási módszert nem tudunk ajánlani, amely minden másod- és magasabb fokú egyenletrendszer megoldásánál alkalmazható.

Két szám összege 3, szorzatuk -40. Határozzuk meg a számokat!

Megoldás: másodfokú egyenletrendszer

A szöveg alapján azonnal felírhatjuk az

kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert. Mivel ezért

A rendezés után:

,
,
, ,
,

Az , , , számpárok a gyökök. Ezek valóban kielégítik az egyenletrendszert.

Megjegyzés
Gondolkodhatunk a következő módon is: Az (1) egyenletrendszer felesleges, mert az x-szel és y-nal jelzett számokat tekinthetjük egy egyismeretlenes másodfokú egyenlet két gyökének is a Viète-formulák alapján, egy új ismeretlennel felírhatjuk a

egyenletet.
Ennek a két gyöke az a két szám, amelyet keresünk, amelyek összege 3, szorzatuk -40.
, , .
Az egyenletrendszerben a két ismeretlen felcserélhető, ezért az , , , számpárok a gyökök.