Hasonló testek térfogata- tétel

Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának a köbe.

Azt már láttuk, hogy a hasonlósági transzformáció hogyan változtatja meg a síkidomok területét. Ugyanilyen fontos a hasonló testek térfogatai közti összefüggés. Ennek keresésekor a hasonlósági transzformáció aránytartó tulajdonságát használjuk fel, és azt, amit már megállapítottunk, nevezetesen, hogy a hasonló síkidomok területének az aránya a hasonlóság arányának a négyzete.
a) Az arányú hasonlósági transzformáció folytán az a élhosszúságú kocka éleiből élhosszúságú lesz.
Az eredeti kocka térfogata:

Az arányú hasonlósági transzformáció utáni kocka térfogata:

Más alakban:

b) Egy arányú hasonlósági transzformáció után az a, b, c élhosszúságú téglatest élei , , lesznek.
Az eredeti téglatest térfogata:
.
Az arányú hasonlósági transzformáció utáni téglatest térfogata:

Más alakban:

c) Bebizonyítható, hogy az előző testektől különböző bármilyen test térfogatát a λ arányú hasonlósági transzformáció -szörösére változtatja.
Ennek bizonyítása azonban meghaladja jelenlegi ismereteinket.
Tétel: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának a köbe.

Feladat: hasonló testek térfogatváltozása

Hogyan változtatja meg a testek térfogatát a
a,

b,

c,

d,

arányú hasonlósági transzformáció?

Megoldás: hasonló testek térfogatváltozása

A testek térfogata
a) 8-szorosára növekszik;
b) 27-szeresére növekszik;
c) nyolcadára csökken;
d) -szörösére csökken.