Hasonló síkidomok területe- tétel

Tudjuk, hogy bármely síkidom és a távolságtartó (egybevágósági) transzformációval kapott képe egybevágó. A távolságtartó transzformációk nem változtatják meg a síkidom területét.

A hasonlósági transzformáció hogyan változtatja meg a síkidomok területét?
Most csak pozitív hasonlósági arányra gondoljunk: (Ha a hasonlóság aránya negatív, akkor helyette tekintsük a -1-szeresét. Ez egy pozitív arányú hasonlósági transzformációnak és egy középpontos tükrözésnek a szorzata.)
Az arányú hasonlósági transzformáció bármely szakasz hosszát a -szorosára változtatja meg.

a) Adott egy háromszög. A arányú hasonlósági transzformáció hogyan változtatja meg a háromszög területét?
Az ábrán látható háromszögnek az alapja a, magassága területe
Az arányú hasonlósági transzformáció miatt az előző háromszögnek az ábrán látható képén a háromszög alapja , magassága ezért területe

Az új háromszög területét úgy kapjuk meg, hogy az eredeti háromszög területét szorozzuk a hasonlóság arányának a négyzetével.
b) Adott egy sokszög. A arányú hasonlósági transzformáció hogyan változtatja meg a területét? Területének meghatározásához a sokszöget háromszögekre bontjuk fel (133. ábra). A sokszög területe a háromszög területének az összege:

A arányú hasonlósági transzformáció minden háromszög területét -szeresére változtatja. Ezért az új sokszög területe:
,
vagy
Hasonló sokszögek területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.
c) Adott egy r sugarú kör, területe A arányú hasonlósági transzformáció hogyan változtatja meg a kör területét?
Az arányú hasonlósági transzformáció miatt az új kör sugara lesz, területe:
vagy
Hasonló körök területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.
d) Bebizonyítható, hogy az előző síkidomoktól eltérő bármilyen síkidom területét a l arányú hasonlósági transzformáció a -szeresére változtatja.

Az előző állításokat összefoglaljuk:

Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.

Feladat: hasonló síkidomok területváltozása

Hogyan változtatja meg a síkidomok területét
a,

b,

c,
arányú hasonlósági transzformáció?

Megoldás: hasonló síkidomok területváltozása

A síkidom területe
a) kilencszeresére növekszik;
b) negyedére csökken;
c) -szorosára csökken.