Bizonyítása- egyenlő szakaszok
Ha egy szög egyik szárán egyenlő hosszúságú szakaszokat veszünk fel, és azok végpontjaira a másik szárat is metsző párhuzamos egyeneseket illesztünk, akkor az azok által a másik szárból kimetszett szakaszok egyenlő hosszúak, azaz ha és akkor | 
|
[@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[0]/node()[0]/node()[0]/node()[0]/node()[2]/node()[0]]/b/normal_png/formula_.png)
[@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[0]/node()[0]/node()[0]/node()[0]/node()[3]/node()[0]]/b/normal_png/formula_.png)
,[@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[0]/node()[0]/node()[0]/node()[0]/node()[4]/node()[0]]/b/normal_png/formula_.png)
A párhuzamos szelők tétele
Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.
A tételben a metsző egyenesek párhuzamossága a feltétel, sorrendjük lényegtelen. Ezért sokféle módon írhatjuk fel a megfelelő szakaszok arányát:[@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[1]/node()[2]/node()[1]]/b/normal_png/formula_.png)
Bizonyítás- racionális arányok
Kézenfekvő a következő kérdés: Ha a szög egyik szárára nem egyenlő hosszúságú szakaszokat mérünk fel, akkor a párhuzamos egyenesekkel a másik szárból kimetszett megfelelő szakaszokról mit mondhatunk?
A szög egyik szárára mérjünk fel olyan szakaszokat, amelyeknek aránya [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[0]]/b/normal_png/formula_.png)
(a. ábra), tehát [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[1]]/b/normal_png/formula_.png)
. illesszünk az A, B, C, D pontokra egymással párhuzamos egyeneseket. Kérdés: Mit mondhatunk a másik száron keletkezett [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[2]]/b/normal_png/formula_.png)
, [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[3]]/b/normal_png/formula_.png)
szakaszokról?
A b. ábrán látható módon felezzük meg az AB szakaszt és osszuk három egyenlő részre a CD szakaszt. Öt egyenlő hosszúságú szakaszt kapunk, ezek: [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[5]]/b/normal_png/formula_.png)
Illesszünk az F, [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[7]]/b/normal_png/formula_.png)
, [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[8]]/b/normal_png/formula_.png)
pontokra az előzőekkel párhuzamos egyeneseket. Ezek a szög másik szárából egyenlő hosszúságú szakaszokat vágnak ki az előző tétel miatt:[@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[10]]/b/normal_png/formula_.png)
Ezért [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[12]]/b/normal_png/formula_.png)
Azt kaptuk, hogy a [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[14]]/b/normal_png/formula_.png)
aránynál a párhuzamos egyenesekkel a szög két szárából kimetszett megfelelő szakaszok aránya egyenlő: [@hierarchy='flowHierarchy']/node()[0]/node()[@hierarchy='textStructure']/node()[2]/node()[2]/node()[15]]/b/normal_png/formula_.png)
.
b) Hasonló gondolatmenettel bizonyíthatjuk, hogy a tetszőleges racionális aránynál is igaz előző állítás.
c) Az is bebizonyítható, hogy ha az egyik szárra felmért szakaszok aránya nem racionális, hanem irracionális, a másik száron kapott megfelelő szakaszok akkor is ugyanolyan arányúak.
Kapcsolódó animáció
21. századi közoktatás - fejlesztés, koordináció (TÁMOP-3.1.1-08/1-2008-0002)
