A skatulya elv fogalma
Ha valakitől azt kérjük, hogy az előtte lévő 4 darab dobozba helyezzen el 5 darab golyót, és fogalmazza meg, hogy amikor ezt teszi, mit tart érdekesnek, akkor valószínűleg nevetségesen egyszerűnek érzi a kérésünket, és azonnal válaszol.
Lehet, hogy a válasza az lesz: „Az egyik dobozba kettőt teszek.” Ha mi minden elhelyezési lehetőségre gondolunk, akkor óvatosabban fogalmazunk, hiszen nem kell feltétlenül egy dobozba két golyót tennünk. Az is lehet, hogy mind az 5 golyót egy dobozba tesszük, az is lehet, hogy két dobozba 2-2 golyót teszünk, egybe 1 darabot, és egy dobozt üresen hagyunk.
Ha az elhelyezési lehetőségek lényegét röviden akarjuk megfogalmazni, akkor azt mondjuk: „Legalább egy dobozba legalább két golyót kell tennünk.”
Ez teljesen magától értetődő megállapítás, helyességében senki sem kételkedhet. A matematikában egy magától értetődő állításra azt mondjuk, hogy triviális állítás. A triviális latin szó. Eredete a trivium szó, amely keresztutat jelent. Innen a triviális szó szerinti értelme: útszéli, közönséges. Később módosult a jelentése: a trivium melletti iskolákban tanított, azaz a mindenki számára alapvető fontosságú ismeretek jelzője lett. Ma a tudományos nyelvben a közismert, magától értetődő, általánosan elfogadott megállapítások jelzőjeként használjuk.
Az elhelyezési feladatot általánosabban így fogalmazhatjuk meg: Ha n darab dobozba
darab tárgyat teszünk, akkor legalább egy dobozba legalább két tárgyat kell elhelyeznünk.
Ezt a magától értetődő állítást „skatulyaelv”-nek nevezzük. Felhasználására szükség lehet összetettebb matematikafeladatok megoldásában is.
Ugyanilyen magától értetődő az is, hogy ha 5 dobozba 16 darab golyót akarunk elhelyezni, akkor legalább egy dobozba legalább 4 golyót kell tennünk.
Ha n darab dobozunk van, akkor is megfogalmazhatunk ahhoz hasonló állítást, amelyet 5 doboz és 16 golyó esetén már megtettünk. Gondoljunk arra, hogy az n doboz mindegyikébe k darab golyót teszünk, ez összesen
golyó, és ha ennél 1-gyel több golyót, azaz
darab golyót akarunk elhelyezni, akkor legalább egy dobozba legalább
darabot kell tennünk. (Ez igaz akkor is, ha n darab dobozba
, vagy
-nél több golyót akarunk elhelyezni.)
A skatulyaelv lényege
A skatulyaelv két megfogalmazása olyan, amelyre gyakran hivatkozunk:
1. Ha n darab dobozban legalább
tárgyat akarunk elhelyezni, akkor legalább egy dobozban legalább két tárgyat kell tennünk.
2. Ha n dobozba legalább
darab tárgyat akarunk tenni, akkor legalább egy dobozba k darabnál többet kell tennünk.
Igazoljuk, hogy bármely 4 darab egész szám között van legalább kettő, amelyeknek a különbsége osztható 3-mal!
A 3-mal történő osztásnál háromféle maradék lehet, azaz a 3-mal való osztás szempontjából az egész számok
alakban írhatók
. A 4 darab egész szám között legalább az egyik féléből legalább kettő van. Vegyük két ilyen számnak a különbségét, ez osztható 3-mal.
A számokat az osztási maradékok alapján szétválogathattuk három dobozba (skatulyába). Ebben a példában a „skatulyaelvet” használtuk. Ezzel a módszerrel részletesebben is fogunk foglalkozni.
A következő kifejezések helyettesítési értékei mely x értékekre nézve